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Programme de colle de la semaine du 30/11/20

Questions de cours

  • Donner toute définition du cours
  • Montrer qu’une des trois normes usuelles de \mathbb{K}^{n} est une norme.
  • Montrer que la norme infinie est une norme sur l’ensemble des fonctions bornées sur un intervalle.
  • Montrer qu’une boule (ouverte ou fermée) est convexe.
  • Montrer qu’une probabilité conditionnelle est une probabilité.
  • Énoncer la propriété de continuité croissante, ou de continuité décroissante, d’une probabilité.
  • Énoncer la formule des probabilités composées, des probabilités totales ou de Bayes.

Espace vectoriel normé

Normes et distances : définition d’une norme, d’une distance associée à une norme. Normes 1,2 et norme infinie sur \mathbb{K}^{n}. Comparaison des normes usuelles.

Topologie : manipuler les définitions de boule (ouverte et fermée), sphère, boule unité (notamment pour les 3 normes usuelles dans \mathbb{R}^2), segment, partie convexe, partie bornée, fonction bornée, suite bornée, partie ouverte ou fermée, intérieur, adhérence et frontière d’une partie.

Espace probabilisé

Ensemble dénombrable : Définition, \mathbb{Z} est dénombrable, le produit cartésien de deux ensembles dénombrables est dénombrable.

Tribu : définition, stabilité par intersection dénombrable, par union et intersection finies.

Probabilité : définition, propriétés de PCSI toujours valables, continuité croissante, continuité décroissante, sous-\sigma-additivité. Probabilité conditionnelle.

Formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, formule de Bayes.


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