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Programme de la semaine du 18/11

Questions de cours

  • Donner toute définition du cours
  • Écrire avec des quantificateurs la phrase « \displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x) = b » pour une application entre deux evn.
  • Écrire avec des quantificateurs la phrase « f est continue en a\in A » pour une application entre deux evn.
  • Montrer qu’une application lipschitzienne est continue.
  • Énoncer le théorème des bornes atteintes.
  • Énoncer la formule du Leibniz pour les applications bilinéaire.
  • Énoncer le critère de d’Alembert.
  • Donner la définition d’un produit de Cauchy de deux séries + théorème de cv.

Applications vectorielles

Limite et continuité

Si E et F sont deux evn de dimension finie, et A une partie non vide de E, on considère les applications f \colon A \to F.

Notion de limite finie de f en un point adhérent à A. Caractérisation séquentielle de la limite, limite composantes par composantes si \dim(F) \geq 2. Opérations sur les limites (somme, produit par une fonction scalaire, composition).

Notion de continuité de f en un point de A. Opérations sur la continuité. Les fonctions polynomiales sont continues, les fonctions linéaires et multilinéaires en dimension finie sont continues. Fonctions lipschitiziennes. Savoir montrer qu’une application linéaire est lipschitzienne.

Si f est à image dans \mathbb{R}, l’image réciproque par f de \mathbb{R}_+^* est un ouvert de E, l’image réciproque par f de \mathbb{R}_+ et de \left\lbrace 0 \right\rbrace sont des fermés de E. Théorème des bornes atteintes pour les applications vectorielles.

Dérivabilité des fonctions de \mathbb{R}^n dans \mathbb{R}

Notion d’applications partielles, de dérivée partielle d’ordre 1. Opérations sur les dérivées partielles (combinaison linéaire, produit, inverse, règle de la chaîne). Fonctions de classe \mathcal C^1 et différentielle en un point. Caractérisation des fonctions constantes.

Dérivabilité des fonctions de \mathbb{R} dans \mathbb{R}^n

Taux d’accroissement et vecteur dérivé. Dérivation composante par composante. Opérations sur les fonctions dérivables (combinaison linéaire, composition à gauche par une application linéaire ou bilinéaire (cas du produit scalaire, de la norme et du déterminant en dimension 2), composition à droite par une fonction numérique). Dérivée kème partielle par rapport à une variable et opérations.

Possibilité de poser un calcul d’intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment (méthodes de calculs de sup)

Séries numériques

Notion de série associée à une suite réelle ou complexe. Vocabulaire : suite des sommes partielles, reste, somme.

Séries de références (télescopique, géométrie, formule du binôme, somme de Riemann, série de Riemann), et critère de convergence.

Notion de convergence absolue, de divergence grossière.

Théorèmes de comparaison des séries à termes positifs. Critère de d’Alembert, produit de Cauchy, théorème spécial des séries alternées.

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