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Programme de la semaine du 2/3

Questions de cours

  • Donner toute définition du cours
  • Montrer qu’une série entière converge normalement sur tout segment inclus dans l’intervalle ouvert de convergence
  • Redémontrer un DSE usuel (cos, sin, sh ou ch à partir d’exponentielle, \ln(1+x), \arctan(x), \frac{1}{(1-x^2)} à partir de la série géométrique)
  • Montrer la convergence d’une des intégrales de référence.
  • Montrer qu’une intégrale absolument convergente est convergente.

Développement en série entière

Opérations et régularité sur l’intervalle ouvert de convergence des séries entières : classe \mathscr C^{\infty} et dérivées successives, primitive s’annulant en 0. Expression des coefficients en fonction des dérivées successives de la somme en 0. DSE usuels et intervalle de convergence

Développement en série entière au voisinage de 0 : unicité, et écriture en série de Taylor. Somme, produit, primitive et dérivées successives de fonctions DSE.
DSE usuels.

Applications à l’étude de la régularité de fonctions, calculs de somme, résolution d’équations différentielles.

Lien entre fonction génératrice d’une variable aléatoire à valeurs entières et son espérance et sa variance. Fonctions génératrices des lois usuelles.

Intégrales généralisées

Définition d’une intégrale généralisée, impropre sur une ou deux bornes finies ou infinies.

Intégrales de référence : Riemann en 0 et en +\infty, exponentielle en +\infty et ln en 0. Théorèmes de comparaison pour les fonctions positives. Notion de fonction absolument convergente.

Notion de fonction intégrable sur un intervalle. Structure des espaces de fonctions intégrables et de carré intégrable.

Calcul d’intégrale convergente par une primitive, un changement de variable ou une intégration par parties.

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