Colles PSI – Les CPGE du Lycée Jean Jaurès

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Programme de colle de la semaine du 30/11/20

Questions de cours

Donner toute définition du cours
Montrer qu’une des trois normes usuelles de $\mathbb{K}^{n}$ est une norme.
Montrer que la norme infinie est une norme sur l’ensemble des fonctions bornées sur un intervalle.
Montrer qu’une boule (ouverte ou fermée) est convexe.
Montrer qu’une probabilité conditionnelle est une probabilité.
Énoncer la propriété de continuité croissante, ou de continuité décroissante, d’une probabilité.
Énoncer la formule des probabilités composées, des probabilités totales ou de Bayes.

Espace vectoriel normé

Normes et distances : définition d’une norme, d’une distance associée à une norme. Normes 1,2 et norme infinie sur $\mathbb{K}^{n}$ . Comparaison des normes usuelles.

Topologie : manipuler les définitions de boule (ouverte et fermée), sphère, boule unité (notamment pour les 3 normes usuelles dans $\mathbb{R}^2$ ), segment, partie convexe, partie bornée, fonction bornée, suite bornée, partie ouverte ou fermée, intérieur, adhérence et frontière d’une partie.

Espace probabilisé

Ensemble dénombrable : Définition, $\mathbb{Z}$ est dénombrable, le produit cartésien de deux ensembles dénombrables est dénombrable.

Tribu : définition, stabilité par intersection dénombrable, par union et intersection finies.

Probabilité : définition, propriétés de PCSI toujours valables, continuité croissante, continuité décroissante, sous- $\sigma$ -additivité. Probabilité conditionnelle.

Formule des probabilités composées, formule des probabilités totales, formule de Bayes.

Programmes passés