Colles PSI – Les CPGE du Lycée Jean Jaurès

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Questions de cours

Donner toute définition du cours
Montrer la convergence d’une des intégrales de référence.
Montrer qu’une intégrale absolument convergente est convergente.
Montrer que si $X\hookrightarrow \mathscr P(\lambda)$ , $Y\hookrightarrow \mathscr P(\mu)$ et $X \bot Y$ alors $X+Y \hookrightarrow \mathscr P(\lambda + \mu)$ .
Montrer l’inégalité de Cauchy-Schwartz version probabiliste : Si $X$ et $Y$ admettent un moment d’ordre 2, alors $XY$ admet un moment d’ordre 1.
Montrer une des règles de calcul de la covariance.

Intégrales généralisées

Définition d’une intégrale généralisée, impropre sur une ou deux bornes finies ou infinies.

Intégrales de référence : Riemann en 0 et en $+\infty$ , exponentielle en $+\infty$ et ln en 0. Théorèmes de comparaison pour les fonctions positives. Notion de fonction absolument convergente.

Notion de fonction intégrable sur un intervalle. Structure des espaces de fonctions intégrables et de carré intégrable.

Calcul d’intégrale convergente par une primitive, un changement de variable ou une intégration par parties.

Couple de variables aléatoires, indépendance

Révisions du chapitre 11 : Variables aléatoires.

Indépendance : événements et variables aléatoires indépendantes. Pour les suites d’événements ou de VARD, notions de mutuelle indépendance ou indépendance deux à deux. Espérance du produit, variance et fonction génératrice de la somme de deux vard indépendantes.

Couple de vard : Loi conjointe et lois marginales. Savoir retrouver la loi conjointe à partir des lois conditionnelles, puis les lois marginales à partir de la loi conjointe.

Covariance : existence de la covariance par Cauchy-Schwartz. Règles de calcul : $Cov(X,X) = V(X)$ , $Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$ , bilinéarité et absorption des constantes, $X\bot Y \Rightarrow Cov(X,Y) = 0$ . Expression de la variance d’une somme de vard en fonction de la covariance. Coefficient de corrélation.

Résultats asymptotiques : inégalité de Bienaymé-Tchebytchev et loi faible des grands nombres.

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