Accueil Documents Cahier de texte
Programme de colle de la semaine du 08/03/21
Questions de cours
- Montrer que si
,
et
alors
.
- Montrer une des règles de calcul de la covariance.
- Énoncer la propriété de continuité croissante, ou de continuité décroissante, d’une probabilité.
- Énoncer la formule des probabilités composées, des probabilités totales ou de Bayes.
- Montrer que si
est stable par une isométrie, alors
est stable aussi.
- Montrer que le spectre d’une isométrie est inclus dans
.
- Calculer le déterminant d’une matrice orthogonale.
Couple de variables aléatoires, indépendance
Révisions du chapitre : Variables aléatoires.
Indépendance : événements et variables aléatoires indépendantes. Pour les suites d’événements ou de VARD, notions de mutuelle indépendance ou indépendance deux à deux. Espérance du produit, variance et fonction génératrice de la somme de deux vard indépendantes.
Couple de vard : Loi conjointe et lois marginales. Savoir retrouver la loi conjointe à partir des lois conditionnelles, puis les lois marginales à partir de la loi conjointe.
Covariance : existence de la covariance par Cauchy-Schwartz. Règles de calcul : ,
, bilinéarité et absorption des constantes,
. Expression de la variance d’une somme de vard en fonction de la covariance. Coefficient de corrélation.
Résultats asymptotiques : inégalité de Bienaymé-Tchebytchev et loi faible des grands nombres.
Isométries
Dans le cadre du programme, on se limite aux espaces euclidiens.
Isométrie vectorielle : caractérisation par la norme, le produit scalaire, l’image des BON ou la matrice dans une BON.
Matrice orthogonale : caractérisation par l’inverse, la famille des colonnes (ou des lignes) ou en tant que matrice de passage entre deux BON. Groupe spécial orthogonal d’ordre $n$.
Orientation de l’espace : en se fixant une base directe, orientation des droites et des plans. Produit mixte, produit vectoriel.
Programmes passés