Colles PSI

Accueil Documents Cahier de texte

Programme de colle de la semaine du 29/03/21

Questions de cours

  • Énoncer un des quatre théorème du chapitre (convergence dominée, intégration terme à terme, continuité ou classe \mathcal{C}^1 des intégrales à paramètre)
  • Si u \in  \mathscr S (E), montrer que E = \ker(u) \stackrel{\bot}{\oplus} Im(u)
  • Montrer que les espaces propres d’un endomorphisme symétrique sont orthogonaux.
  • Énoncer le théorème spectral.
  • Montrer qu’une forme linéaire non nulle est surjective.

Convergence dominée et intégrale à paramètre

Théorème de convergence dominée, appliqué aux suites et séries de fonctions sur un intervalle quelconque. Théorème d’intégration terme à terme.

Intégrale à paramètre, savoir montrer la continuité et la classe \mathcal{C}^1.
Étude de fonction définie par une intégrale.

Endomorphismes symétriques

Ensemble des endomorphismes symétriques de E noté \mathscr S(E), de dimension \frac{n(n+1)}{2}.

Caractérisation par les matrices dans des BON.

Théorème spectral. Orthodiagonalisation.

Forme linéaire et hyperplan

Hyperplan, caractérisation par la dimension, l’existence d’une droite supplémentaire, ou en tant que noyau d’une forme linéaire. Notion de vecteur normal à l’hyperplan, et équation dans une BON fixée.

Forme linéaire, théorème de représentation de Riesz, deux formes linéaires ont le même noyau ssi elles sont proportionnelles.


Programmes passés