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Programme de la semaine du 23/9

Questions de cours

  • Donner toute définition du cours
  • Énoncer le théorème de la base adaptée à la décomposition en somme de n sev.
  • Énoncer la formule du changement de base pour les applications linéaires.
  • Démontrer que la trace et le déterminant sont invariants par similitude.
  • Définition et valeur d’un déterminant de Vandermonde.
  • Montrer que le produit scalaire canonique de \mathcal M_n(\mathbb{R}) est un produit scalaire.
  • Énoncer l’inégalité de Cauchy-Schwartz et préciser le cas d’égalité.
  • Énoncer l’inégalité triangulaire et préciser le cas d’égalité.

Algèbre linéaire : révision et généralisation

Toutes les méthodes du programme d’algèbre linéaire de PCSI sont à connaître.

Sous-espaces vectoriel : dimension, intersection, somme de n sous-espaces vectoriel, somme directe, supplémentaires, produit cartésien.

Bases adaptées à la décompositions en sommes directes, à une sev de dimension finie.

Application linéaire : endomorphisme, isomorphisme, automorphisme. Restriction et co-restriction à des sev. Noyau, image, représentation matricielle. Opérations sur la représentation matricielle. Matrices semblables, trace, déterminant. Calcul matriciel par blocs.

Algèbre bilinéaire : révision et généralisation

Produit scalaire et norme euclidienne associée : propriétés de calcul, identités remarquables, du parallélogramme et de polarisation. Inégalité de Cauchy-Schwartz et triangulaire.

Orthogonalité : vecteurs orthogonaux, espaces orthogonaux, orthogonal d’un espace, identité de Pythagore. Supplémentaires orthogonaux, base orthogonales et orthonormales. Algorithme d’orthonormalisation de Gram-Schmidt. Décomposition QR.

Expression du produit scalaire, des coordonnées et du projecteur orthogonal dans une base orthonormale.

Projecteur orthogonal : caractérisation (autoadjoint et matrice dans une BON), inégalité de Bessel, théorème de minimisation, calcul de distance.


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