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Programme de la semaine du 20/1

Questions de cours

  • Donner toute définition du cours
  • Énoncer au moins un des 5 théorèmes d’application de la convergence uniforme (continuité,classe \mathscr C^1, classe \mathscr C^k, interversion limite intégrale, double limite), pour les suites de fonctions ou leur équivalent pour les séries de fonctions.
  • Montrer l’implication « Convergence normale » \Rightarrow « Convergence uniforme » pour les séries de fonctions.
  • Énoncer le théorème de transfert.
  • Montrer qu’une variable aléatoire admettant un moment d’ordre 2 est d’espérance finie
  • Énoncer et démontrer la formule de Koenig Huygens.
  • Énoncer l’inégalité de Markov et l’inégalité de Bienaymé – Tchebychev.

Convergence uniforme des suites et séries de fonctions

Convergence uniforme des suites de fonctions. Unicité de la limite (à trouver avec la convergence simple), convergence uniforme sur tout segment. Applications de la convergence uniforme : conservation par passage à la limite de la continuité, de la classe, interversion limite/intégrale, théorème de la double limite.

Norme de la convergence uniforme.

Convergence normale et uniforme des séries de fonctions. Applications de la convergence uniforme : conservation par passage à la limite de la continuité, de la classe (théorèmes de dérivation terme à terme), intégration terme à terme, interversion somme/limite.

Variables aléatoires

Dans le cadre du programme, les variables aléatoires sont discrètes à image réelle fini ou dénombrable.

Variable aléatoire : définition, image, événement associé. Loi de probabilité et fonciton de répartition. Espérance et variance. Variable aléatoire centrée réduite.

Lois usuelles : uniforme, Bernoulli, binomiale, géométrique et loi de Poisson. Connaitre leur espérance, variance et les utiliser pour modéliser un problème.


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