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Programme de colle de la semaine du 08/03/21

Questions de cours

  • Montrer que si X\hookrightarrow \mathscr P(\lambda), Y\hookrightarrow \mathscr P(\mu) et X \bot Y alors X+Y \hookrightarrow \mathscr P(\lambda + \mu).
  • Montrer une des règles de calcul de la covariance.
  • Énoncer la propriété de continuité croissante, ou de continuité décroissante, d’une probabilité.
  • Énoncer la formule des probabilités composées, des probabilités totales ou de Bayes.
  • Montrer que si F est stable par une isométrie, alors F^{\bot} est stable aussi.
  • Montrer que le spectre d’une isométrie est inclus dans \left\lbrace -1, 1 \right\rbrace.
  • Calculer le déterminant d’une matrice orthogonale.

Couple de variables aléatoires, indépendance

Révisions du chapitre : Variables aléatoires.

Indépendance : événements et variables aléatoires indépendantes. Pour les suites d’événements ou de VARD, notions de mutuelle indépendance ou indépendance deux à deux. Espérance du produit, variance et fonction génératrice de la somme de deux vard indépendantes.

Couple de vard : Loi conjointe et lois marginales. Savoir retrouver la loi conjointe à partir des lois conditionnelles, puis les lois marginales à partir de la loi conjointe.

Covariance : existence de la covariance par Cauchy-Schwartz. Règles de calcul : Cov(X,X) = V(X), Cov(X,Y)=Cov(Y,X), bilinéarité et absorption des constantes, X\bot Y \Rightarrow Cov(X,Y) = 0. Expression de la variance d’une somme de vard en fonction de la covariance. Coefficient de corrélation.

Résultats asymptotiques : inégalité de Bienaymé-Tchebytchev et loi faible des grands nombres.

Isométries

Dans le cadre du programme, on se limite aux espaces euclidiens.

Isométrie vectorielle : caractérisation par la norme, le produit scalaire, l’image des BON ou la matrice dans une BON.

Matrice orthogonale : caractérisation par l’inverse, la famille des colonnes (ou des lignes) ou en tant que matrice de passage entre deux BON. Groupe spécial orthogonal d’ordre $n$.

Orientation de l’espace : en se fixant une base directe, orientation des droites et des plans. Produit mixte, produit vectoriel.


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