Colles – prépa ATS – Maths


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Programme de la semaine du 15/04/2019

Chapitre X : séries entières

– définition d’une série entière, rayon de convergence
– théorèmes de dérivation et d’intégration terme à terme
– séries entières de référence (exp(x), 1/(1±x), ln(1±x), cos(x), sin(x), ch(x), sh(x), (1+x)a)
– calculs de sommes de séries entières au moyen de séries entières de référence (on pourra utiliser différentes techniques parmi les suivantes : changement de variable (par exemple t=x/2), changement d’indice (par exemple k=n-2), ajout et suppression d’un terme, factorisation par une puissance de la variable (par exemple par x ou 1/x)
– théorèmes de dérivation et d’intégration terme à terme
– calcul d’une série numérique à l’aide d’une série entière
– série entière solution d’une équation différentielle


Chapitre Y : fonctions de plusieurs variables

Les exemples considérés concerneront des fonctions de deux ou trois variables
– dérivées partielles d’ordre 1, gradient, fonctions de classe C1, développement limité d’ordre 1
– dérivées partielles d’ordre 2, fonctions de classe C2, théorème de Schwarz, développement limité d’ordre 2,
– dérivées partielles de fonctions de plusieurs variables composées : savoir calculer g’ dans le cas de g définie par : g(t)=f(x(t);y(t)) et savoir calculer ∂F/∂u et ∂F/∂v dans le cas de F définie par : F(u;v)=h(f(u;v);g(u;v))
– exemples de résolution d’équations aux dérivées partielles du premier et du second ordre (avec changement de variables donné : transformation affine, passage en coordonnées polaires)
– point critique, étude de l’existence d’un extremum local d’une fonction de deux variables en un point critique où rt-s2≠0
– courbe plane définie par une équation f(x;y)=0, point régulier, tangente en un point régulier
– surface définie par une équation f(x;y;z)=0, point régulier, plan tangent en un point régulier