Cahier de texte – ATS – Maths


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Mardi 4 septembre
Chapitre A : Comparaison de nombres réels

I – Les nombres réels :
1°) Une définition
2°) La valeur absolue

II – Égalités et équations :
1°) Puissances
2°) Fractions
3°) Équations

Pour le mercredi 12/09 : faire le devoir maison n°1.

Mercredi 5 septembre

II – Égalités et équations :
4°) Équations du second degré

III – Inégalités et inéquations :
1°) Signe d’un nombre réel
2°) Signe d’expressions de référence
3°) Inégalités équivalentes
4°) Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure

IV – Utiliser les fonctions :
1°) Inéquations et fonctions
2°) Application de la monotonie aux inégalités et recherches de signe (partie non terminée)

Pour le lundi 10/09 : faire l’exercice A1 de la feuille d’exercices du chapitre A.

Lundi 10 septembre

Correction de l’exercice A1.

IV – Utiliser les fonctions :
2°) Application de la monotonie aux inégalités et recherches de signe (fin)
3°) Liens entre fonctions et équations

Exercices :
ex A4 : construire une équation
ex A2 : résolution d’équations

TD :

* Exercice A12 : étude d’une fonction définie avec des valeurs absolues.
* Exercice A5 : résolution d’inéquations.
* Exercice A9 : inégalité.
* Exercice A13 : fonction injective, surjective, bijective, Im(f) : 1°) traité en détails.

Mardi 11 septembre

TD :

* Exercice A13 : fonction injective, surjective, bijective, Im(f) : 3°) traité en détails.
* Exercice A11 : comparaison de deux nombres.
* Exercice A3 : inégalité arithmético-géométrique et application.
* Exercice A14 : bornes supérieure et inférieure d’une fonction.

Mercredi 12 septembre
Chapitre B : Systèmes linéaires et géométrie

I – Systèmes linéaires :
1°) Définition d’un système linéaire
2°) Opérations élémentaires
3°) Méthode du pivot de Gauss
4°) Aspects théoriques de la méthode du pivot

II – Vecteurs et points :
1°) Relation entre points et vecteurs (non terminé)

Lundi 17 septembre

II – Vecteurs et points :
1°) Relation entre points et vecteurs (fin)
2°) Bases, repères et coordonnées

III – Droites et plans :
1°) Droites affines
2°) Passer des équations cartésiennes aux équations paramétriques
3°) Plans affines

IV – Configurations de droites et de plans :
1°) Incidence de deux droites dans le plan
2°) Incidence de deux plans, une droite un plan, deux droites, dans l’espace

Pour le mercredi 26/09 : faire le devoir maison n°2.

TD :

* Exercice B2 : un polynôme inconnu.
* Exercice B4 : caractéristiques de droites du plan.
* Exercice B6 : étude élémentaire d’une transformation du plan (non terminé).

Mardi 18 septembre

TD :

* Correction de l’exercice B6.
* Exercice B1 : résolution d’un système dépendant d’un paramètre.
* Exercice B7 : changement de repère.
* Exercice B8 : équations de plans de l’espace.

Mercredi 19 septembre
Chapitre C : Les fonctions

I – Généralités sur les fonctions :
1°) La notion de fonction
2°) Composition de fonctions et fonction réciproque
3°) Propriétés de symétrie
4°) Asymptotes
5°) Tangentes

II – Fonctions polynômes, fonctions racines :
1°) Fonctions polynômes
2°) Fonctions affines
3°) Trinômes du second degré
4°) Fonction inverse
5°) Fonction racine n-ième

Lundi 24 septembre

III – Fonctions logarithmes et exponentielles :
1°) La fonction logarithme népérien
2°) La fonction exponentielle
3°) Les fonctions exponentielles de base a, a>0
4°) Les fonctions logarithmes de base a, a>0 et a≠1
5°) Les fonctions hyperboliques

TD :

* Exercice C11 : lecture de graphique (d’une dérivée) et d’énoncé.
* Exercice C3 : étude d’une fonction et de sa réciproque.
* Exercice C5 : image d’une fonction (non terminé).

Mardi 25 septembre

TD :

* Correction de l’exercice C5 : image d’une fonction.
* Exercice C4 : bornes supérieure et inférieure d’une fonction.
* Exercice C6 : trigonométrie hyperbolique.
* Exercice C8 : équations : 1°), 2°) et 3°).

Mercredi 26 septembre
Chapitre D : Nombres entiers

I – Le raisonnement par récurrence :
1°) Les nombres entiers
2°) Le raisonnement par récurrence
* Exercice : ex D2 : 5°)

II – Sommes et produits :
1°) Sommes et produits d’indices entiers
2°) Sommes de référence (non terminé)

Lundi 1er octobre

II – Sommes et produits :
2°) Sommes de références (fin)

III – Binôme de Newton :
1°) La factorielle
2°) Les coefficients binomiaux
3°) Aspects combinatoires
4°) La formule du binôme
5°) La formule de Leibniz

TD :

* Exercice D1 : composées successives.
* Exercice D3 : sommes de référence.
* Exercice D4 : sommes télescopiques.
* Exercice D5 : produits.
* Exercice D6 : sommes binomiales.

Mardi 2 octobre

TD :

* Exercice D7 : somme binomiale.
* Exercice D10 : dérivées successives.
* Exercice D2 : récurrence, le 3°) (l’inégalité de Bernoulli).

Mercredi 3 octobre
Chapitre E : Nombres complexes

I – Introduction des nombres complexes :
1°) L’ensemble des nombres complexes
2°) Propriétés des opérations
3°) Représentation géométrique

II – Conjugué d’un nombre complexe :
1°) Définition
2°) Propriétés de la conjugaison
3°) Application : forme algébrique d’un quotient

III – Module d’un nombre complexe :
1°) Définition
2°) Propriétés du module

IV – Nombres complexes de module 1 :
1°) Le groupe (\mathbb{U},×)
2°) e, θ∈\mathbb{R}. Propriétés, formules de Moivre et d’Euler

Pour le lundi 15/10 : faire le devoir maison n°3.

DS1

Lundi 8 octobre

IV – Nombres complexes de module 1 :
2°) point méthode pour la transformation d’expressions du type e±eiθ’

V – Argument d’un nombre complexe non nul :
1°) Les coordonnées polaires
2°) La notion d’argument
3°) Exponentielle d’un nombre complexe

VI – Équations du second degré dans \mathbb{C} :
1°) L’équation à coefficients réels dans le cas Δ<0 2°) Les racines carrées d'un nombre complexe 3°) L'équation du second degré à coefficients complexes

VII – Les racines n-ièmes d’un nombre complexe :
1°) Définitions
2°) Les racines n-ièmes de l’unité
3°) Les racines n-ièmes d’un nombre complexe

VIII Nombres complexes et géométrie :
1°) Applications du module
2°) Applications de l’argument
3°) Applications aux transformations du plan

TD :

* Exercice du cours : VIII 1°).
* Exercice E1 : identité du parallélogramme.
* Exercice E3 : calcul de cos(π/12) et sin(π/12).
* Exercice E5 : trouver les nombres complexes tels que z7 et z-2 soient conjugués.
* Exercice E9 : projection du plan sur un cercle (juste commencé).

Mardi 9 octobre

TD :

* Exercice E9 : projection du plan sur un cercle.
* Exercice E6 : résolution d’une équation de degré 4.
* Exercice E7 : racines cubiques de -i.
* Exercice E2 : simplification d’un nombre complexe.

Mercredi 10 octobre
Chapitre F : Trigonométrie

I – Sinus, cosinus et tangente d’un nombre réel :
1°) Définitions
2°) Linéarisation
3°) Antilinéarisation
4°) Formulaire de trigonométrie
5°) Équations trigonométriques
6°) Inéquations trigonométriques

Lundi 15 octobre

II – Les fonctions circulaires :
1°) Définitions
2°) La fonction sinus
3°) La fonction cosinus
4°) La fonction tangente

III – Les fonctions circulaires réciproques :
1°) Rappels (fonction réciproque et théorème de bijection)
2°) La fonction Arc tangente
3°) La fonction Arc sinus
4°) La fonction Arc cosinus

TD :

* Exercice F10 : linéarisation et intégrales.
* Exercice F11 : somme trigonométrique.
* Exercice F2 : arctan(7)+2arctan(3)=5π/4.
* Exercice F1 : somme télescopique avec arctan.

Mardi 16 octobre

TD :

* Exercice F3 : simplifier une expression trigonométrique.
* Exercice F6 : équations : 1°) arccos(x) = arcsin(x) 2°) arccos(x) = arccos(1/4) + arcsin(1/3).
* Exercice F9 : étude des fonctions : 1°) x → cos2(x) + cos(x) 2°) x → arccos(cos(x)) 3°) x → arccos(cos(x)) + arcsin(sin(x)).

Mercredi 17 octobre

* Exercice F8 : une équation de degré 6 dans \mathbb{C}.
* Exercice F7 : une équation trigonométrique.

Chapitre G : Géométrie plane

I – Géométrie euclidienne dans \mathbb{R}n, n∈\mathbb{N}* :
1°) Produit scalaire canonique dans \mathbb{R}n
2°) Norme d’un vecteur, inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire, théorème de Pythagore
3°) Angle géométrique de deux vecteurs

II – Géométrie euclidienne dans le plan :
1°) Norme, angle
2°) Vecteur normal d’une droite
3°) Produit scalaire et droites (non terminé)

Pour le lundi 05/11 : faire le devoir maison n°4.

Lundi 5 novembre

II – Géométrie euclidienne dans le plan :
3°) Produit scalaire et droites (fin)
4°) Cercles du plan

III – Déterminant de deux vecteurs du plan :
1°) Définition du déterminant
2°) Propriétés du déterminant
3°) Déterminant et orientation du plan
4°) Déterminant et aire

TD :

* Exercice G3 : éléments caractéristiques et intersection d’une droite et d’un cercle.
* Exercice G2 : éléments caractéristiques et équation du cercle circonscrit d’un triangle.
* Exercice G5 : lieu de l’orthocentre d’un triangle dont un sommet est mobile sur une droite.
* Exercice G9 : diagonales d’un cerf-volant.

Mardi 06 novembre

TD :

* Exercice G8 : déduire une distance point-droite d’un calcul d’aire.
* Exercice G6 : tangentes à un cercle passant par un point donné.
* Exercice G4 : cercle inscrit d’un triangle.

Mercredi 07 novembre
Chapitre H : Courbes paramétrées

I – Fonctions d’une variable réelle à valeurs dans \mathbb{R}2 ou \mathbb{R}3 :
1°) Définition d’une fonction vectorielle
2°) Propriétés des fonctions vectorielles

II – Courbes paramétrées dans le plan :
1°) Définition d’une courbe paramétrée
2°) Tangente en un point d’une courbe paramétrée
3°) Longueur d’un arc d’une courbe paramétrée

III – Étude d’une courbe paramétrée du plan :
1°) Plan d’étude
2°) Réduction du domaine d’étude (non terminé)

Lundi 12 novembre

III – Étude d’une courbe paramétrée du plan :
2°) Réduction du domaine d’étude (fin)
3°) Étude des variations simultanées des coordonnées
4°) Étude des branches infinies
Étude d’un exemple
5°) Étude des points multiples
Étude d’un exemple (non terminé)

Pour le lundi 26/11 : faire le devoir maison n°5.

TD :

* Fin de l’exemple du III 5°) du cours.
* Exercice H2 : construction d’une courbe paramétrée à partir du tableau des variations simultanées des coordonnées.
* Exercice H1 : 2°) étude de la courbe paramétrée par : x(t) = (cos(t))2 + ln|sin(t)| et y(t) = sin(t) (non terminé).

Mardi 13 novembre

TD :

* Exercice H1 : 2°) étude de la courbe paramétrée par : x(t) = (cos(t))2 + ln|sin(t)| et y(t) = sin(t) (fin).
* Exercice H5 : tangentes d’une courbe remarquable.
* Exercice H4 : construction d’une tractrice.

Mercredi 14 novembre
Chapitre I : Équations différentielles

I – Généralités :
1°) Notion d’équation différentielle
2°) Rappels sur les primitives

II – Équations différentielles linéaires du premier ordre :
1°) Cas de l’équation sans second membre
2°) Structure des solutions d’une équation différentielle linéaire
3°) Recherche d’une solution particulière : méthode de variation de la constante
4°) Le principe de superposition des solutions
5°) Le problème de Cauchy

DS2

Lundi 19 novembre

III – Équations différentielles linéaires du second ordre :
1°) Cas de l’équation à coefficients constants sans second membre
2°) Forme des solutions selon le second membre

IV Équations différentielles générales :
1°) Résolution approchée : la méthode d’Euler
2°) Théorème de Cauchy-Lipschitz et applications
3°) Changement de fonction

TD :

* Résolution du dernier exemple du cours : résoudre sur ]0;+∞[ 2t2y »+3ty’-y=0 sachant que t→1/t est solution.
* Exercice I1 : trouver une équation différentielle satisfaite par une fonction.
* Exercice I4 : 2°) et 3°) équations différentielles linéaires d’ordre 1 avec second membre.
* Exercice I8 : 1°) équation différentielle linéaire d’ordre 2 avec second membre.

Mardi 20 novembre

TD :

* Exercice I5 : loi de refroidissement de Newton.
* Exercice I10 : une équation différentielle à variables séparables.
* Exercice I2 : une équation linéaire d’ordre 1.
* Exercice I9 : un problème de Cauchy d’ordre 2.

Mercredi 21 novembre
Chapitre J : Suites numériques

Partie A :
I – La notion de suite :
1°) Définitions
2°) Différentes façons de définir une suite
3°) Représentation graphique d’une suite réelle
4°) Opérations sur les suites
5°) Monotonie d’une suite
6°) Suite majorée, suite minorée, suite bornée

II – Suites arithmétiques et suites géométriques :
1°) Les suites arithmétiques
2°) Les suites géométriques

Partie B : limite d’une suite réelle
I – Suites convergentes :
1°) Définitions
2°) Théorèmes sur les limites

Lundi 26 novembre

Partie B : limite d’une suite réelle
I – Suites convergentes :
2°) Théorèmes sur les limites

II – Suites de limite infinie :
1°) Définition
2°) Théorèmes sur les limites
3°) Limite de qn

III – Limites et composition :
1°) Théorème
2°) Exemples d’utilisation
3°) Corollaire : cas des suites récurrentes d’ordre 1

IV – Comportement asymptotique des suites monotones :
1°) Cas de divergence
2°) Cas de convergence
3°) Suites adjacentes

Exercices :
ex J1 : écriture fractionnaire d’un nombre.

TD :

* Exercice J2 : étude d’une suite homographique.
* Exercice J5 : somme des inverses des factorielles.

Mardi 27 novembre

TD :

* Exercice J3 : suite des moyennes du terme précédent et de son module.
* Exercice J4 : étude d’une suite implicite.

Mercredi 28 novembre
Chapitre K : Matrices

I – Notion de matrice et opérations :
1°) Définitions
2°) Multiplication d’une matrice et d’une matrice colonne
3°) Multiplication de deux matrices (non terminé)

Lundi 03 décembre

I – Notion de matrice et opérations :
3°) Multiplication de deux matrices (fin)
4°) Matrices inversibles
5°) Matrice transposée
6°) Matrices d’opérations élémentaires

II – Applications linéaires et matrices :
1°) Image d’une matrice
2°) Noyau d’une matrice
3°) Rang d’une matrice

TD :

* Exercice K2 : groupe orthogonal spécial du plan euclidien.
* Exercice K1 : puissance d’une matrice diagonalisable.
* Exercice K3 : centre d’un groupe de matrices unipotentes : 1°) et 2°).

Mardi 04 décembre

TD :

* Exercice K3 : centre d’un groupe de matrices unipotentes : 3°).
* Exercice K4 : système différentiel.
* Exercice K7 : noyau et image d’une matrice (non terminé).

Mercredi 05 décembre
Chapitre L : Géométrie dans l’espace

I – Repérage dans l’espace :
1°) Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires
2°) Bases et repères de l’espace

II – Produit scalaire dans l’espace :
1°) Définition
2°) Propriétés

III – Produit vectoriel :
1°) Définitions
2°) Propriétés

IV – Déterminant ou produit mixte :
1°) Définitions
2°) Propriétés

Lundi 10 décembre

V – Plans :
1°) Définitions et systèmes d’équations paramétriques
2°) Équations cartésiennes de plans
3°) Distance d’un point à un plan
4°) Position relative de deux plans

VI – Droites :
1°) Position relative de deux droites
2°) Distance d’un point à une droite

VII – Sphères :
1°) Définition
2°) Équation cartésienne d’une sphère
3°) Intersection d’une sphère et d’un plan

TD :

* Exercice K7 : noyau et image d’une matrice (fin).
* Exercice L3 : distance point-plan.
* Exercice L1 : produit vectoriel et loi des sinus.
* Exercice L2 : différence des vecteurs de deux bases orthonormées directes.
* Exercice L4 : intersection de trois plans : 1°).

Mardi 11 décembre

TD :

* Exercice L4 : intersection de trois plans : fin.
* Exercice L6 : perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires.

Mercredi 12 décembre
Chapitre M : Limites, continuité, dérivabilité

I – Limites de fonctions :
1°) Limite en un réel
2°) Limite en l’infini
3°) Règles opératoires sur les limites
4°) Techniques pour lever les formes indéterminées