Cahier de texte – prépa ATS – Maths


Accueil Cahier de texte Colles Liens et documents

Très bonne année à tous, soyez travailleurs et ambitieux !

Mercredi 2 septembre

Présentation générale du programme, du travail et des objectifs de l’année.
Puis cours en classe entière :

Chapitre A : Comparaison de nombres réels

I – Les nombres réels :
1°) Une définition
2°) La valeur absolue

II – Égalités et équations :
1°) Puissances
2°) Méthodes de démonstration d’une égalité
3°) Fractions
4°) Équations
5°) Équations du second degré

III – Inégalités et inéquations :
1°) Signe d’un nombre réel
2°) Signe d’expressions de référence
3°) Inégalités équivalentes (non terminé)

Pour vendredi 04/09 : faire l’exercice en page 7 du cours.
Pour lundi 07/09 : faire le devoir maison n°1.

Vendredi 4 septembre

III – Inégalités et inéquations :
3°) Inégalités équivalentes (fin)
4°) Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure

IV – Utiliser les fonctions :
1°) Inéquations et fonctions
2°) Application de la monotonie aux inégalités et recherches de signe
3°) Liens entre fonctions et équations
4°) Image directe

TD :

* Exercice A1 : égalité et équation.
* Exercice A2 : équations.
* Exercice A12 : étude d’une fonction définie avec des valeurs absolues.
* Exercice A5 : résolution d’inéquations : 1°) 2°) 3°).

Lundi 7 septembre

TD :

* Exercice A9 : une inégalité.
* Exercice A13 : image d’une fonction : 1°) et 3°).
* Exercice A11 : comparaison de deux nombres.
* Exercice A3 : deux inégalités.

Pour le lundi 14/09 : faire le devoir maison n°2.

Mercredi 9 septembre

Chapitre B : Systèmes linéaires et géométrie

I – Systèmes linéaires :
1°) Définition d’un système linéaire
2°) Opérations élémentaires
3°) Méthode du pivot de Gauss
4°) Aspects théoriques de la méthode du pivot

II – Vecteurs et points :
1°) Rappels sur les vecteurs et généralisation
2°) Bases, repères et coordonnées (juste commencé)

Vendredi 11 septembre

II – Vecteurs et points :
2°) Bases, repères et coordonnées (fin)

III – Droites et plans :
1°) Droites affines
2°) Passer des équations cartésiennes aux équations paramétriques
3°) Plans affines
4°) Intersection

IV – Configurations de droites et de plans :
1°) Incidence de deux droites dans le plan
2°) Incidence de deux plans, une droite un plan, deux droites, dans l’espace

* Exercice B4 : Caractéristiques de droites du plan : 1°) et 2°)

TD :

Exercices du chapitre B :
* Exercice B4 : Caractéristiques de droites du plan : 3°) 4°) et 5°).
* Exercice B2 : un polynôme inconnu.
* Exercice B6 : étude d’une transformation du plan.

Lundi 14 septembre

TD :

* Exercice B1 : résolution d’un système comportant un paramètre
* Exercice B7 : changement de repère appliqué à l’étude d’une courbe
* Exercice B8 : équation cartésienne d’un plan de l’espace, plusieurs situations

Séance de préparation aux colles :
Cas pratique de la première semaine : au programme, les chapitres A et B
Parcours du programme et consultation systématique des différentes parties du cours correspondantes pour chacun des chapitres
Un exemple de sujet distribué et remarques pour chacun des exercices

Pour le lundi 21/09 : faire le devoir maison n°3.

Mercredi 16 septembre

Chapitre C : Les fonctions

I – Généralités sur les fonctions :
1°) La notion de fonction
2°) Composition de fonctions et fonction réciproque
3°) Propriétés de symétrie
4°) Asymptotes
5°) Tangentes

II – Fonctions polynômes, fonctions racines :
1°) Fonctions polynômes
2°) Fonctions affines
3°) Trinômes du second degré
4°) Fonction inverse
5°) Fonction racine n-ième

Vendredi 18 septembre

III – Fonctions logarithmes et exponentielles :
1°) La fonction logarithme népérien
2°) La fonction exponentielle
3°) Les fonctions exponentielles de base a
4°) Les fonctions logarithmes de base a
5°) Les fonctions hyperboliques

TD :

Exercices du chapitre C :
* Exercice C11 : lecture de graphique (d’une dérivée) et d’énoncé.
* Exercice C3 : étude d’une fonction et de sa réciproque.
* Exercice C5 : image d’une fonction (non terminé).

Lundi 21 septembre

TD :

* Exercice C5 : image d’une fonction (fin)
* Exercice C4 : borne sup et borne inf d’une fonction
* Exercice C6 : formules de trigonométrie hyperbolique
* Exercice C8 : équations 1°) et 2°).

Pour le lundi 05/10 : faire le devoir maison n°4.

Mercredi 23 septembre

Chapitre D : Les entiers

I – Le raisonnement par récurrence :
1°) Les entiers
2°) Le raisonnement par récurrence

II – Sommes et produits :
1°) Sommes et produits d’indices entiers : introduction des notations \Sigma et \Pi
2°) Sommes de référence

DS n°1

Vendredi 25 septembre

III – La formule du binôme de Newton :
1°) La factorielle
2°) Les coefficients binomiaux
3°) Aspects combinatoires
4°) La formule du binôme
5°) La formule de Leibniz

TD :

Exercices du chapitre D :
* Exercice D1 : composées successives.
* Exercice D3 : sommes de référence.
* Exercice D4 : somme télescopique.
* Exercice D5 : produits.

Lundi 28 septembre

TD :

* Exercice D6 : sommes binomiales.
* Exercice D7 : somme binomiale.
* Exercice D10 : dérivées successives.

Pour le lundi 05/10 : faire le devoir maison n°4.
Pour le lundi 12/10 : faire le devoir maison n°5.

Mercredi 30 septembre

Chapitre E : Les nombres complexes

I – Introduction des nombres complexes :
1°) L’ensemble des nombres complexes
2°) Propriétés des opérations
3°) Représentation géométrique

II – Conjugué d’un nombre complexe :
1°) Définition
2°) Propriétés de la conjugaison
3°) Applications

III – Module d’un nombre complexe :
1°) Définition2°) Propriétés du module

IV – Nombres complexes de module 1 :
1°) Le groupe (\mathbb{U},×)
2°) e, θ∈\mathbb{R}. Propriétés, formules de Moivre et d’Euler

Vendredi 2 octobre

V – Argument d’un nombre complexe non nul :
1°) Les coordonnées polaires
2°) La notion d’argument
3°) Exponentielle d’un nombre complexe

VI – Équations du second degré dans \mathbb{C} :
1°) L’équation du second degré à coefficients réels et discriminant négatif
2°) Les racines carrées d’un nombre complexe
3°) Cas de l’équation du second degré à coefficients complexes

VII – Les racines n-ièmes d’un nombre complexe :
1°) Définitions
2°) Les racines n-ièmes de l’unité
3°) Les racines n-ièmes d’un nombre complexe

VIII – Nombres complexes et géométrie :
1°) Applications du module
2°) Applications de l’argument
3°) Applications aux transformations du plan

TD :

Fin du cours :
VIII – Nombres complexes et géométrie :
3°) Applications aux transformations du plan

Exercices du chapitre E :
* Exercice E2 : simplification d’un nombre complexe
* Exercice E1 : identité du parallélogramme
* Exercice E3 : calcul de cos(pi/12) et sin(pi/12)
* Exercice E5 : nombres complexes z tels que z^7 et z^-2 conjugués

Lundi 5 octobre

TD :

* Exercice E6 : résolution d’une équation de degré 4.
* Exercice E7 : racines cubiques de -i.
* Exercice E9 : projection du plan sur un cercle.

Pour le lundi 12/10 : faire le devoir maison n°5.

Mercredi 7 octobre

Chapitre F : Trigonométrie

I – Sinus, cosinus et tangente d’un nombre réel :
1°) Définitions
2°) Linéarisation
3°) Anti-linéarisation
4°) Formulaire de trigonométrie
5°) Équations trigonométriques
6°) Inéquations trigonométriques

Vendredi 9 octobre

II – Les fonctions circulaires :
1°) Définitions
2°) La fonction sinus
3°) La fonction cosinus
4°) La fonction tangente

III – Les fonctions circulaires réciproques :
1°) Rappels
2°) La fonction Arc tangente
3°) La fonction Arc sinus
4°) La fonction Arc cosinus

TD :

Exercices du chapitre F :
* Exercice F10 : linéarisation et calcul d’une intégrale.
* Exercice F11 : calcul d’une somme trigonométrique.
* Exercice F2 : arctan(7)+2arctan(3)=5\pi/4.

Lundi 12 octobre

TD :

Exercices du chapitre F :
* Exercice F1 : somme télescopique avec arctan.
* Exercice F3 : simplifier une expression trigonométrique.
* Exercice F6 : équations avec arccos et arcsin.

Pour le lundi 02/11 : faire le devoir maison n°6.
Pour le lundi 09/11 : faire le devoir maison n°7.

Mercredi 14 octobre

Chapitre G : Géométrie plane

I – Géométrie euclidienne dans \mathbb{R}^n :
1°) Produit scalaire canonique dans \mathbb{R}^n
2°) Norme d’un vecteur
3°) Angle géométrique de deux vecteurs

II – Géométrie euclidienne dans le plan :
1°) Norme, angle
2°) Vecteur normal d’une droite
3°) Produit scalaire et droites (non terminé)

Vendredi 16 octobre

II – Géométrie euclidienne dans le plan :
3°) Produit scalaire et droites (fin)
4°) Cercles du plan

III – Déterminant de deux vecteurs du plan :
1°) Définition du déterminant
2°) Propriétés du déterminant
3°) Déterminant et orientation du plan
4°) Déterminant et aire

TD :

Exercices du chapitre G :
* Exercice G3 : intersection de courbes.
* Exercice G2 : équation du cercle circonscrit d’un triangle.
* Exercice G5 : équation d’un lieu de points.

Lundi 2 novembre

TD :

Exercices du chapitre G :
* Exercice G8 : autour d’un parallélogramme.
* Exercice G6 : tangentes à un cercle.
* Exercice G4 : cercle inscrit d’un triangle.

Pour le lundi 09/11 : faire le devoir maison n°7.

Mercredi 4 novembre

Chapitre H : Courbes paramétrées du plan

I – Fonctions d’une variable réelle à valeurs dans \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3 :
1°) Définition d’une fonction vectorielle
2°) Propriétés des fonctions vectorielles

II – Courbes paramétrées du plan :
1°) Définition d’une courbe paramétrée
2°) Tangente en un point d’une courbe paramétrée
3°) Longueur d’un arc de courbe paramétrée

III – Étude d’une courbe paramétrée du plan :
1°) Plan d’étude

DS n°2

Vendredi 6 novembre

III – Étude d’une courbe paramétrée du plan :
1°) Plan d’étude
2°) Réduction du domaine d’étude
3°) Étude des variations simultanées des coordonnées
4°) Étude des branches infinies
Étude détaillée d’un exemple

TD :

Exercices du chapitre H :
* Exercice H2 : autour d’un parallélogramme.
* Exercice H1 : étude d’une courbe paramétrée : la 2°).

Lundi 9 novembre

TD :

Exercices du chapitre H :
* Exercice H5 : tangentes d’une courbe remarquable.
* Exercice H4 : construction d’une tractrice : le 1°).

Pour le lundi 16/11 : faire le devoir maison n°8.

Vendredi 13 novembre

Chapitre I : Équations différentielles

I – Généralités :
1°) Notion d’équation différentielle
2°) Rappels sur les primitives

II – Équations différentielles linéaires d’ordre 1 :
1°) Cas de l’équation sans second membre
2°) Structure des solutions d’une équation différentielle linéaire
3°) Recherche d’une solution particulière : méthode de variation de la constante
4°) Le principe de superposition de solutions
5°) Le problème de Cauchy

III – Équations différentielles linéaires d’ordre 2 :
1°) Cas de l’équation à coefficients constants sans second membre
2°) Forme d’une solution particulière selon le second membre

Lundi 16 novembre

IV – Équations différentielles générales :
1°) Résolution approchée : la méthode d’Euler
2°) Théorème de Cauchy-Lipschitz et applications
3°) Changement de fonction

TD :

Exercices du chapitre I :
* Exercice I1 : équation différentielle de solution donnée
* Exercice I4 : équations différentielles linéaires d’ordre 1 : 2°) et 3°)
* Exercice I8 : équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants : 1°)
* Exercice I5 : loi de refroidissement de Newton

Mercredi 18 novembre

Chapitre J : Suites numériques

Partie A : Généralités
I – La notion de suite :
1°) Définitions
2°) Différentes façons de définir une suite
3°) Représentation graphique d’une suite réelle
4°) Opérations sur les suites
5°) Monotonie d’une suite
6°) Suite majorée, suite minorée, suite bornée

II – Suites arithmétiques, suites géométriques :
1°) Les suites arithmétiques
2°) Les suites géométriques

Partie B : limite d’une suite réelle
I – Suites convergentes :
1°) Définitions (non terminé)

Vendredi 20 novembre

Partie B : limite d’une suite réelle
I – Suites convergentes :
1°) Définitions (fin)
2°) Théorèmes sur les limites

II – Suites de limite infinie :
1°) Définition
2°) Théorème sur les limites
3°) Limite de qn

III – Limites et composition :
1°) Théorème
2°) Exemple d’utilisation
3°) Corollaire : cas des suites récurrentes d’ordre 1

IV – Comportement asymptotique des suites monotones :
1°) Cas de divergence
2°) Cas de convergence
3°) Suites adjacentes

V – Comparaison de suites :
1°) Relation de négligeabilité
2°) Relation d’équivalence

TD :

Exercices du chapitre J :
* Exercice J1 : écriture fractionnaire d’un nombre à partie décimale périodique.
* Exercice J2 : étude d’une suite homographique.

Lundi 23 novembre

TD :

Exercices du chapitre J :
* Exercice J5 : somme des inverses des factorielles : fin.
* Exercice J3 : étude d’une suite récurrente de nombres complexes : 1°) à 5°).

Pour le lundi 30/11 : faire le devoir maison n°10.

Mercredi 25 novembre

Chapitre K : Matrices

I – Notion de matrice et opérations :
1°) Définitions
2°) Multiplication d’une matrice et d’une matrice colonne
3°) Multiplication de deux matrices
4°) Matrices inversibles (non terminé)

Vendredi 27 novembre

I – Notion de matrice et opérations :
4°) Matrices inversibles (fin)
5°) Matrice transposée
6°) Matrices d’opérations élémentaires

II – Application linéaire associée à une matrice :
1°) Image d’une matrice
2°) Noyau d’une matrice
3°) Rang d’une matrice

TD :

Exercices du chapitre K :
* Exercice K2 : groupe orthogonal spécial du plan euclidien.
* Exercice K1 : puissances d’une matrice diagonalisable.

Lundi 30 novembre

TD :

Exercices du chapitre K :
* Exercice K7 : noyau et image d’une matrice 4×3.
* Exercice K4 : système différentiel et racine de l’identité.

Pour le lundi 14/12 : faire le devoir maison n°11.

Mercredi 2 décembre

Chapitre L : Géométrie dans l’espace

I – Repérage dans l’espace :
1°) Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires
2°) Bases et repères de l’espace

II – Produit scalaire dans l’espace :
1°) Définition
2°) Propriétés

III – Produit vectoriel :
1°) Définitions
2°) Propriétés

IV – Déterminant ou produit mixte :
1°) Définitions
2°) Propriétés

V – Plans :
1°) Définition et systèmes d’équations paramétriques d’un plan
2°) Équation cartésienne d’un plan (non terminé)

Vendredi 4 décembre

V – Plans :
2°) Équation cartésienne d’un plan (fin)
3°) Distance d’un point à un plan
4°) Position relative de deux plans

VI – Droites :
1°) Position relative de deux droites
2°) Distance d’un point à une droite

VII – Sphères :
1°) Définition
2°) Équation cartésienne d’une sphère
3°) Intersection d’une sphère et d’un plan

TD :

Exercices du chapitre L :
* Exercice L3 : distance point-plan.
* Exercice L1 : produit vectoriel et loi des sinus.
* Exercice L2 : différence des vecteurs de deux bases orthonormées directes.

Lundi 7 décembre

TD :

Exercices du chapitre L :
* Exercice L4 : intersection de trois plans.
* Exercice L6 : perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires.

Pour le lundi 14/12 : faire le devoir maison n°11.

Mercredi 9 décembre

Chapitre M : Limites, comparaison, continuité, dérivabilité

I – Limites de fonctions :
1°) Limite en un réel
2°) Limite en l’infini
3°) Règles opératoires sur les limites
4°) Techniques pour lever les formes indéterminées

II – Comparaison de fonctions, négligeabilité et équivalence :
1°) Inégalités et limites
2°) Relation de négligeabilité (non terminé)

DS n°3

Vendredi 11 décembre

II – Comparaison de fonctions, négligeabilité, dérivabilité :
2°) Relation de négligeabilité (fin)
3°) Relation d’équivalence

III – Continuité :
1°) Définition
2°) Propriétés
3°) La fonction partie entière
4°) Théorèmes sur les fonctions continues

IV – Dérivabilité :
1°) Nombre dérivé, fonction dérivée
2°) Opérations sur les fonctions dérivables (non terminé)

TD :

Exercices du chapitre M :
* Exercice M2 : limites avec équivalents.
* Exercice M4 : suite implicite avec partie entière.
* Exercice M3 : équivalent et limite d’une suite : 1°).

Lundi 14 décembre

TD :

Exercices du chapitre M :
* Exercice M3 : équivalent et limite d’une suite (fin).
* Exercice M5 : dérivabilité d’une fonction réciproque.

Pour le lundi 04/01 : faire le devoir maison n°12.

Mercredi 16 décembre

IV – Dérivabilité :
2°) Opérations sur les fonctions dérivables (fin)
3°) Propriétés des fonctions dérivables
4°) Fonctions de classe Ck

Exercices du chapitre M :
* Exercice M6 : Accroissements finis et étude d’une suite : 1°).

Vendredi 18 décembre

Chapitre N : Intégration sur un segment

I – Intégrale d’une fonction continue :
1°) Définitions
2°) Propriétés de l’intégrale
3°) Extension de la notion d’intégrale

II – Intégrales et primitives :
1°) Rappels sur les primitives
2°) Le théorème fondamental
3°) Des primitives remarquables

TD :

Exercices du chapitre M :
* Exercice M6 : fin.

Exercices du chapitre N :
* Exercice N1 : intégrale d’un polynôme trigonométrique.
* Exercice N3 : intégration par parties (non terminé).

Lundi 4 janvier

TD :

Exercices du chapitre N :
* Exercice N3 : intégration par parties (fin).
* Exercices du cours sur l’intégration par parties.
* Exercice N6 : équation différentielle linéaire d’ordre 1 et intégration par parties.
* Exercice N8 : suite d’intégrales.

Pour le lundi 11/01 : faire le devoir maison n°13.

Mercredi 6 janvier

III –Méthodes de calcul d’intégrales :
2°) Le changement de variable

Exercice du chapitre N :
* Exercice N5 : Changement de variable et intégration par parties.

Chapitre O : Les développements limités

I – Généralités sur les développements limités :
1°) Définitions
2°) Propriété d’unicité
3°) Propriété de troncature
4°) Propriété de parité

II – Propriétés des développements limités :
1°) Développements limités et opérations (non terminé)

Vendredi 8 janvier

II – Propriétés des développements limités :
1°) Développements limités et opérations (fin)
2°) Développement limité, continuité, dérivabilité
3°) Intégration d’un développement limité
4°) La formule de Taylor-Young
5°) Développements limités de référence

III – Applications des développements limités :
1°) Calculs de limites
2°) Détermination d’équivalents, étude de signe
3°) Détermination d’asymptote et position relative

TD :

Exercices du chapitre O :
* Exercice O1 : développements limités.
* Exercice O3 : recherche d’un équivalent.
* Exercice O4 : limite d’une suite.

Lundi 11 janvier

TD :

Exercices du chapitre O :
* Exercice O2 : limites et développements limités.
* Exercice O5 : étude locale.
* Exercice O6 : fonction Arc tangente.

Pour le lundi 18/01 : faire le devoir maison n°14.

Mercredi 13 janvier

Chapitre P : Espaces vectoriels

I – Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels :
1°) Notion d’espace vectoriel
2°) Notion de sous-espace vectoriel
3°) Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs
4°) Intersection de sous-espaces vectoriels
5°) Somme de sous-espaces vectoriels

II – Familles de vecteurs :
1°) Familles libres de vecteurs (non terminé)

Vendredi 15 janvier

II – Familles de vecteurs :
1°) Familles libres de vecteurs (fin)
2°) Bases et coordonnées
3°) Caractérisation d’une base
4°) Bases et sommes directes

III – Dimension finie :
1°) Espaces vectoriels de dimension finie
2°) Définition de la dimension
3°) Caractérisations d’une base
4°) Dimension et sous-espaces vectoriels
5°) Changement de base

TD :

Exercices du chapitre P sur les espaces vectoriels :
* Exercice P1 : reconnaître un espace vectoriel.
* Exercice P5 : sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel des suites (non terminé).

Lundi 18 janvier

TD :

Exercices du chapitre P :
* Exercice P5 : fin.
* Exercice P6 : dimension.
* Exercice P3 : projection orthogonale sur un plan.

Pour le lundi 25/01 : finir le devoir maison n°14.

Mercredi 20 janvier

Chapitre Q : Applications linéaires

I – Notion d’application linéaire :
1°) Définitions et exemples
2°) Application linéaire déduite d’une matrice
3°) Matrice d’une application linéaire
4°) Changement de base

II – Noyau et image d’une application linéaire :
1°) Noyau d’une application linéaire (non terminé)

Vendredi 22 janvier

II – Noyau et image d’une application linéaire :
1°) Noyau d’une application linéaire (fin)
2°) Image d’une application linéaire

III – Applications linéaires :
1°) Morphismes
2°) Homothéties, projecteurs, symétries

TD :

Exercices du chapitre Q sur les applications linéaires :
* Exercice Q1 : endomorphisme et changement de base.
* Exercice Q2 : composée d’un endomorphisme du plan.
* Exercice Q3 : espace des exponentielles-polynômes de degré 2 (non terminé).

Lundi 25 janvier

TD :

Exercices du chapitre Q :
* Exercice Q3 : espace des exponentielles-polynômes de degré 2 (fin).
* Exercice Q5 : une symétrie du plan vectoriel.
* Exercice Q6 : un endomorphisme défini par l’image d’une base.

Pour le lundi 01/02 : faire le devoir maison n°15.

Mercredi 27 janvier

Chapitre R : Séries numériques

I – Définitions et exemples :
1°) Notion de série numérique
2°) Séries géométriques
3°) Série de Riemann

II – Séries à termes positifs :
1°) Alternative du comportement d’une série à termes positifs
2°) Comparaisons de séries à termes positifs
3°) Séries à termes positifs et équivalents
4°) Convergence absolue

III – Méthodes d’études :
1°) Critère suffisant de divergence
2°) Séries télescopiques (non terminé)

DS n°4

Vendredi 29 janvier

III – Méthodes d’études :
2°) Séries télescopiques (fin)
3°) Séries alternées
4°) Critère de d’Alembert
5°) Comparaison d’une série avec une intégrale
6°) Méthodes de calcul de la somme

Exercices du chapitre R sur les séries numériques :
* Exercice R1 : nature d’une série : 1°) 2°) 3°).

TD :

Exercices du chapitre R sur les séries numériques :
* Exercice R1 : nature d’une série : 4°).
* Exercice R2 : nature de séries numériques.
* Exercice R3 : nature de séries numériques : 1°).

Lundi 1er février

TD :

Exercices du chapitre R sur les séries numériques :
* Exercice R3 : nature de séries numériques : fin.
* Exercice R4 : convergence et calcul de la somme d’une série.
* Exercice R5 : la formule de Stirling.

Pour le lundi 08/02 : faire le devoir maison n°16.

Mercredi 3 février

Chapitre S : Polynômes et fractions rationnelles

I – Notion de polynôme :
1°) L’espace vectoriel des polynômes
2°) Degré d’un polynôme
3°) Division euclidienne de polynômes

II – Racines de polynômes :
1°) Racines et factorisation
2°) Factorisation dans \mathbb{C}[X] (non terminé)

Vendredi 5 février

II – Racines de polynômes :
2°) Factorisation dans \mathbb{C}[X] (fin)
3°) Factorisation dans \mathbb{R}[X]

III – Fractions rationnelles :
1°) Notion de fraction rationnelle
2°) Degré d’une fraction rationnelle
3°) Partie entière d’une fraction rationnelle

IV – Pôles d’une fraction rationnelle :
1°) Notion de pôle d’une fraction rationnelle
2°) Décomposition en éléments simples sur \mathbb{C}
3°) Obtenir les coefficients d’une décomposition en éléments simples
4°) Décomposition en éléments simples sur \mathbb{R}

TD :

Exercices du chapitre S sur les polynômes et fractions rationnelles :
* Exercice S1 : division euclidienne et asymptote.
* Exercice S5 : factorisation de polynômes dans C[X] et R[X] : 1°) et 2°).
* Exercice S6 : puissances d’une matrice et polynôme annulateur.

Lundi 8 février

TD :

Exercices du chapitre S sur les polynômes et fractions rationnelles :
* Exercice S9 : intégrale et éléments simples.
* Exercice S8 : dérivées successives.

Pour le lundi 01/03 : faire le devoir maison n°17.

Mercredi 10 février

Chapitre T : Déterminant

I – Le déterminant : une forme multilinéaire alternée :
1°) La notion de déterminant
2°) Multilinéarité du déterminant
3°) Caractère alterné du déterminant

Vendredi 12 février

II – Déterminant d’un produit de matrices :
1°) Cas de déterminants nuls
2°) Multiplicativité du déterminant
3°) Invariance du déterminant par transposition

III – Exemples et applications :
1°) Déterminant d’une famille de vecteurs
2°) Déterminant d’un endomorphisme
3°) Déterminant d’une matrice bloc triangulaire

Exercices du chapitre T sur les déterminants :
* Exercice T1 : calculs de déterminants.
* Exercice T2 : calculs de déterminants à paramètres : 1°) et 2°).

TD :

Exercices du chapitre T sur les déterminants :
* Exercice T2 : calculs de déterminants à paramètres : fin.
* Exercice T8 : déterminant et automorphisme polynomial.
* Exercice T3 : déterminant d’ordre n.

Lundi 1er mars

TD :

Exercices du chapitre T sur les déterminants :
* Exercice T4 : déterminant et relation de récurrence.
* Exercice T5 : déterminant et alignement de trois points du plan.
* Exercice T6 : déterminant d’une matrice antisymétrique.
* Exercice T9 : déterminant à paramètre et automorphisme de l’espace.

Mercredi 3 mars

Chapitre U : Séries de Fourier

I – Compléments sur les fonctions définies par morceaux :

II – Coefficients et séries de Fourier :
1°) Coefficients de Fourier
2°) Série de Fourier d’une fonction

III – Théorèmes de convergence :
1°) Théorème de Parseval
2°) Théorème de Dirichlet

Vendredi 5 mars

Chapitre V : Réduction des endomorphismes

I – Éléments propres et polynôme caractéristique :
1°) Éléments propres d’un endomorphisme
2°) Polynôme caractéristique d’un endomorphisme
3°) Extension aux matrices des notions précédentes

II – Endomorphismes et matrices diagonalisables :
1°) Cas des endomorphismes
2°) Cas des matrices

TD :

Exercices du chapitre U sur les séries de Fourier :
* Exercice U1 : coefficients de Fourier.

Lundi 8 mars

TD :

Exercices du chapitre U sur les séries de Fourier :
* Exercice U5 : série de Fourier et calcul de somme.

Mercredi 3 mars

III – Endomorphismes et matrices trigonalisables :
1°) Trace d’une matrice, trace d’un endomorphisme
2°) Cas des endomorphismes
3°) Cas des matrices

IV – Applications de la réduction des endomorphismes :
1°) Puissances de matrices
2°) Systèmes récurrents linéaires homogènes

Vendredi 12 mars

IV – Applications de la réduction des endomorphismes :
3°) Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants

V – Isométries vectorielles et matrices orthogonales

VI – Classification des isométries vectorielles en dimensions 2 et 3 :
1°) Le groupe orthogonal du plan
2°) Le groupe orthogonal de l’espace

VII – Matrices symétriques réelles

TD :

Exercices du chapitre V sur la réduction des endomorphismes :
* Exercice V1 : vérifier que des vecteurs sont propres.
* Exercice V2 : diagonalisabilité d’une matrice à paramètre.
* Exercice V5 : puissances d’une matrice par diagonalisation.

Lundi 15 mars

TD :

Exercices du chapitre V sur la réduction des endomorphismes :
* Exercice V4 : famille de matrices et diagonalisation.
* Exercice V9 : système différentiel linéaire 2×2 avec second membre.
* Exercice V10 : système récurrent linéaire 2×2.

Mercredi 17 mars

Chapitre W : Intégrales généralisées

I – Intégrale d’une fonction continue sur un intervalle :
1°) Définitions
2°) Propriétés

II – Intégrale d’une fonction continue positive sur un intervalle :
1°) Théorèmes de comparaison
2°) Convergence absolue

DS n°5

Vendredi 19 mars

Chapitre X : Séries entières

I – Convergence d’une série entière :
1°) Définitions
2°) Rayon de convergence
3°) Disque et intervalle de convergence

II – Somme d’une série entière d’une variable réelle :
1°) Définition
2°) Théorème de continuité
3°) Théorème de dérivation terme à terme

TD :

Exercices du chapitre W sur les intégrales généralisées :
* Exercice W1 : nature d’intégrales impropres.
* Exercice W2 : calculs d’intégrales convergentes : 1°).

Lundi 22 mars

TD :

Exercices du chapitre W sur les intégrales généralisées :
* Exercice W2 : calculs d’intégrales convergentes : fin.
* Exercice W5 : valeur principale et convergence d’intégrale.

Mercredi 24 mars

III – Fonctions développables en série entière :
1°) Définition
2°) Propriétés
3°) Développements en série entière usuels
4°) Exemples de calculs de développements en série entière
5°) Exemples de calculs de sommes de séries entières

Exercices du chapitre X sur les séries entières :
* Exercice X1 : rayon de convergence.
* Exercice X3 : rayon de convergence et calcul de somme (non terminé).

Vendredi 26 mars

Chapitre Y : Fonctions de plusieurs variables

I – Introduction à la topologie de Rn :
1°) La norme euclidienne de Rn
2°) La distance euclidienne de Rn
3°) Éléments de topologie de Rn

II – Limites et continuité :
1°) Définition
2°) Propriétés

III – Dérivées partielles, applications de classe C1 et C2 sur une partie ouverte :
1°) Dérivées partielles
2°) Application de classe C1
3°) Dérivées partielles et composition

TD :

Exercices du chapitre X sur les séries entières :
* Exercice X3 : rayon de convergence et calcul de somme (fin).
* Exercice X6 : équation différentielle et série entière : 1°) et 2°) (non terminé).

Lundi 29 mars

TD :

Exercices du chapitre X sur les séries entières :
* Exercice X6 : équation différentielle et série entière : fin.
* Exercice X5 : inégalité et série entière.
* Exercice X8 : série entière et série numérique.

Mercredi 31 mars

IV – Extremums d’une fonction de deux variables :
1°) Extremum local d’une fonction
2°) Étude des points critiques d’une fonction

V – Applications géométriques :
1°) Courbes du plan (non terminé)

Vendredi 2 avril

Suite du cours du chapitre Y : Fonctions de plusieurs variables

V – Applications géométriques :
1°) Courbes du plan (fin)
2°) Surfaces de l’espace

Exercices du chapitre Y sur les fonctions de plusieurs variables :
* Exercice Y1 : étude de points critiques.
* Exercice Y3 : calcul du laplacien en coordonnées polaires.

TD :

Exercices du chapitre Y sur les fonctions de plusieurs variables :
* Exercice Y3 : calcul du laplacien en coordonnées polaires.
* Exercice Y4 : équations aux dérivées partielles linéaires.

Jeudi 8 avril

Semaine du concours blanc

Épreuve de Mathématiques : 9h-12h.

Lundi 26 avril

TD :

Révisions :
* Exercice 2 du sujet du concours ATS 2015.

Mercredi 28 avril

TD :

Révisions :
* Exercice 1 du sujet du concours ATS 2017.

Vendredi 30 avril

TD :

Révisions :
* Exercice 2 du sujet du concours ATS 2014 : séries de Fourier.
* Exercice 3 du sujet du concours ATS 2017 : fonctions de plusieurs variables (non terminé).

Lundi 3 mai

TD :

Révisions :
* Exercice 3 du sujet du concours ATS 2017 : fonctions de plusieurs variables (fin).
* Exercice 4 du sujet du concours ATS 2010 : étude d’une courbe paramétrée : 1°) à 4°) (non terminé).

Mercredi 5 mai

TD :

Révisions :
* Exercice 4 du sujet du concours ATS 2010 : étude d’une courbe paramétrée : fin.
* Exercice 3 du sujet du concours ATS 2020 : parties A, B et C.

Vendredi 7 mai

TD :

Révisions :
* Exercice 3 du sujet du concours ATS 2020 : partie D.
* Exercice 1 du sujet du concours ATS 2018 : algèbre linéaire.
* Exercice 3 du sujet du concours ATS 2019 : fonctions de plusieurs variables.

Mercredi 19 mai

TD :

Révisions :
* Oraux individuels.

Vendredi 21 mai

TD :

Révisions :
* TD de révisions.
* Oraux individuels.

Mercredi 26 mai

TD :

Révisions :
* Oraux individuels.

Lundi 31 mai

TD :

Révisions :
* TD de révisions.
* Oraux individuels.

Mercredi 2 juin

TD :

Révisions :
* Oraux individuels.

Vendredi 4 juin

TD :

Révisions :
* TD de révisions.
* Oraux individuels.

Lundi 7 juin

TD :

Révisions :
* TD de révisions.
* Oraux individuels.

Mercredi 9 juin

TD :

Révisions :
* Oraux individuels.

Vendredi 11 juin

TD :

Révisions :
* TD de révisions.
* Oraux individuels.

Lundi 14 juin

TD :

Révisions :
* TD de révisions.
* Oraux individuels.

Mercredi 16 juin

TD :

Révisions :
* Oraux individuels.

Vendredi 18 juin

TD :

Révisions :
* TD de révisions.
* Oraux individuels.