Cahier de texte – prépa ATS – Maths – Les CPGE du Lycée Jean Jaurès

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Mardi 3 septembre

Présentation générale du programme, du travail et des objectifs de l’année.
Puis cours en classe entière :

Chapitre A : Comparaison de nombres réels

I – Les nombres réels :
1°) Une définition
2°) La valeur absolue

II – Égalités et équations :
1°) Puissances
2°) Méthodes de démonstration d’une égalité
3°) Fractions
4°) Équations
5°) Équations du second degré

III – Inégalités et inéquations :
1°) Signe d’un nombre réel

Pour le mardi 10/09 : faire le devoir maison n°1.

Mercredi 4 septembre

III – Inégalités et inéquations :
2°) Signe d’expressions de référence
3°) Inégalités équivalentes
4°) Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure

IV – Utiliser les fonctions :
1°) Inéquations et fonctions
2°) Application de la monotonie aux inégalités et recherches de signe
3°) Liens entre fonctions et équations
4°) Image directe

Vendredi 6 septembre

Chapitre B : Systèmes linéaires et géométrie

I – Systèmes linéaires :
1°) Définition d’un système linéaire
2°) Opérations élémentaires
3°) Méthode du pivot de Gauss
4°) Aspects théoriques de la méthode du pivot

II – Vecteurs et points :
1°) Rappels sur les vecteurs et généralisation

TD :

* Exercice A1 : égalité et équation.
* Exercice A2 : équations.
* Exercice A12 : étude d’une fonction définie avec des valeurs absolues.
* Exercice A5 : résolution d’inéquations : 1°) 2°) 3°).
* Exercice A9 : inégalité.

Mardi 10 septembre

TD :

* Exercice A13 : image d’une fonction : 1°) et 3°).
* Exercice A11 : comparaison de deux nombres.
* Exercice A13 : deux inégalités.
* Exercice A8 : intersection d’une courbe avec les axes de coordonnées.

Pour le mardi 17/09 : faire le devoir maison n°2.

Mercredi 11 septembre

II – Vecteurs et points :
2°) Bases, repères et coordonnées

III – Droites et plans :
1°) Droites affines
2°) Passer des équations cartésiennes aux équations paramétriques
3°) Plans affines
4°) Intersection

IV – Configurations de droites et de plans :
1°) Incidence de deux droites dans le plan
2°) Incidence de deux plans, une droite un plan, deux droites, dans l’espace

* Exercice B4 : Caractéristiques de droites du plan : 1°) 2°) et 3°)

Vendredi 13 septembre

Chapitre C : Les fonctions

I – Généralités sur les fonctions :
1°) La notion de fonction
2°) Composition de fonctions et fonction réciproque
3°) Propriétés de symétrie
4°) Asymptotes
5°) Tangentes

II – Fonctions polynômes, fonctions racines :
1°) Fonctions polynômes
2°) Fonctions affines
3°) Trinômes du second degré
4°) Fonction inverse

TD :

Exercices du chapitre B :
* Exercice B4 : Caractéristiques de droites du plan : 4°) et 5°).
* Exercice B2 : un polynôme inconnu.
* Exercice B6 : étude élémentaire d’une transformation du plan.

Mardi 17 septembre

TD :

* Exercice B1 : résolution d’un système comportant un paramètre
* Exercice B7 : changement de repère appliqué à l’étude d’une courbe
* Exercice B8 : équation cartésienne d’un plan de l’espace, plusieurs situations

Séance de préparation aux colles :
Cas pratique de la première semaine : au programme, les chapitres A et B
Parcours du programme et consultation systématique des différentes parties du cours correspondantes pour chacun des chapitres
Un exemple de sujet distribué et remarques pour chacun des exercices

Pour le mardi 24/09 : faire le devoir maison n°3.

Mercredi 18 septembre

II – Fonctions polynômes, fonctions racines :
5°) Fonction racine n-ième

III – Fonctions logarithmes et exponentielles :
1°) La fonction logarithme népérien
2°) La fonction exponentielle
3°) Les fonctions exponentielles de base a
4°) Les fonctions logarithmes de base a
5°) Les fonctions hyperboliques

Vendredi 20 septembre

Chapitre D : Nombres entiers

I – Le raisonnement par récurrence :
1°) Les entiers
2°) Le raisonnement par récurrence

II – Sommes et produits :
1°) Sommes et produits d’indices entiers : introduction des notations $\Sigma$ et $\Pi$
2°) Sommes de référence

TD :

Exercices du chapitre C :
* Exercice C11 : lecture de graphique (d’une dérivée) et d’énoncé.
* Exercice C3 : étude d’une fonction et de sa réciproque.
* Exercice C5 : image d’une fonction (non terminé).

Mardi 24 septembre

TD :

* Exercice C5 : image d’une fonction (fin)
* Exercice C4 : borne sup et borne inf d’une fonction
* Exercice C6 : formules de trigonométrie hyperbolique

Pour le mardi 01/10 : faire le devoir maison n°4.

Mercredi 25 septembre

III – La formule du binôme de Newton :
1°) La factorielle
2°) Les coefficients binomiaux
3°) Aspects combinatoires
4°) La formule du binôme
5°) La formule de Leibniz

Vendredi 27 septembre

Chapitre E : Nombres complexes

I – Introduction des nombres complexes :
1°) L’ensemble des nombres complexes
2°) Propriétés des opérations
3°) Représentation géométrique

II – Conjugué d’un nombre complexe :
1°) Définition
2°) Propriétés de la conjugaison
3°) Applications

III – Module d’un nombre complexe :
1°) Définition2°) Propriétés du module

IV – Nombres complexes de module 1 :
1°) Le groupe ( $\mathbb{U}$ ,×)
2°) e^iθ, θ∈ $\mathbb{R}$ . Propriétés, formules de Moivre et d’Euler (exemples non terminés)

TD :

* Fin du IV 2°) du cours (2ème exemple traité)
Exercices du chapitre D :
* Exercice D1 : composées successives.
* Exercice D3 : sommes de référence.
* Exercice D4 : somme télescopique.
* Exercice D5 : produits.

Mardi 1er octobre

TD :

* Exercice D6 : sommes binomiales.
* Exercice D7 : somme binomiale.
* Exercice D10 : dérivées successives.

Pour le mardi 15/10 : faire le devoir maison n°5.

Mercredi 02 octobre

V – Argument d’un nombre complexe non nul :
1°) Les coordonnées polaires
2°) La notion d’argument
3°) Exponentielle d’un nombre complexe

VI – Équations du second degré dans $\mathbb{C}$ :
1°) L’équation du second degré à coefficients réels et discriminant négatif
2°) Les racines carrées d’un nombre complexe
3°) Cas de l’équation du second degré à coefficients complexes

VII – Les racines n-ièmes d’un nombre complexe :
1°) Définitions
2°) Les racines n-ièmes de l’unité
3°) Les racines n-ièmes d’un nombre complexe

VIII – Nombres complexes et géométrie :
1°) Applications du module
2°) Applications de l’argument
3°) Applications aux transformations du plan

Vendredi 4 octobre

Chapitre F : Trigonométrie

I – Sinus, cosinus et tangente d’un nombre réel :
1°) Définitions
2°) Linéarisation
3°) Anti-linéarisation
4°) Formulaire de trigonométrie
5°) Équations trigonométriques
6°) Inéquations trigonométriques

TD :

Exercices du chapitre E :
* Exercice E1 : identité du parallélogramme
* Exercice E3 : calcul de cos(pi/12) et sin(pi/12)
* Exercice E5 : nombres complexes z tels que z^7 et z^-2 conjugués
* Exercice E9 : projection du plan sur un cercle : 1°) et 2°) (non terminé)

Mardi 8 octobre

TD :

* Exercice E9 : projection du plan sur un cercle : 3°) et 4°).
* Exercice E6 : résolution d’une équation de degré 4.
* Exercice E7 : racines cubiques de -i.
* Exercice E2 : simplification d’un nombre complexe.

Mercredi 09 octobre

II – Les fonctions circulaires :
1°) Définitions
2°) La fonction sinus
3°) La fonction cosinus
4°) La fonction tangente

III – Les fonctions circulaires réciproques :
1°) Rappels
2°) La fonction Arc tangente
3°) La fonction Arc sinus
4°) La fonction Arc cosinus

DS n°1

Vendredi 11 octobre

Chapitre G : Géométrie plane

I – Géométrie euclidienne dans $\mathbb{R}^n$ :
1°) Produit scalaire canonique dans $\mathbb{R}^n$
2°) Norme d’un vecteur
3°) Angle géométrique de deux vecteurs

II – Géométrie euclidienne dans le plan :
1°) Norme, angle
2°) Vecteur normal d’une droite
3°) Produit scalaire et droites (non terminé)

TD :

Exercices du chapitre F :
* Exercice F10 : linéarisation et calcul d’une intégrale.
* Exercice F11 : calcul d’une somme trigonométrique.
* Exercice F2 : arctan(7)+2arctan(3)=5 $\pi$ /4.

Mardi 15 octobre

TD :

* Exercice F1 : somme télescopique avec arctan.
* Exercice F3 : simplifier une expression trigonométrique.
* Exercice F6 : équation : arccos(x) = arcsin(x)

Pour le mardi 05/11 : faire le devoir maison n°6.

Mercredi 16 octobre

II – Géométrie euclidienne dans le plan :
3°) Produit scalaire et droites (fin)
4°) Cercles du plan

III – Déterminant de deux vecteurs du plan :
1°) Définition du déterminant
2°) Propriétés du déterminant
3°) Déterminant et orientation du plan
4°) Déterminant et aire

Vendredi 18 octobre

Chapitre H : Courbes paramétrées du plan

I – Fonctions d’une variable réelle à valeurs dans $\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{R}^3$ :
1°) Définition d’une fonction vectorielle
2°) Propriétés des fonctions vectorielles

II – Courbes paramétrées du plan :
1°) Définition d’une courbe paramétrée
2°) Tangente en un point d’une courbe paramétrée
3°) Longueur d’un arc de courbe paramétrée

III – Étude d’une courbe paramétrée du plan :
1°) Plan d’étude

TD :

Exercices du chapitre G :
* Exercice G3 : intersection de courbes.
* Exercice G2 : équation du cercle circonscrit d’un triangle.
* Exercice G5 : équation d’un lieu de points.

Mardi 5 novembre

TD :

* Exercice G8 : déduire une distance point-droite d’un calcul d’aire.
* Exercice G6 : tangentes à un cercle passant par un point donné.
* Exercice G4 : cercle inscrit d’un triangle.

Pour le mardi 12/11 : faire le devoir maison n°7.

Mercredi 6 novembre

III – Étude d’une courbe paramétrée du plan :
1°) Plan d’étude
2°) Réduction du domaine d’étude
3°) Étude des variations simultanées des coordonnées
4°) Étude des branches infinies
Étude détaillée d’un exemple

Vendredi 8 novembre

Chapitre I : Équations différentielles

I – Généralités :
1°) Notion d’équation différentielle
2°) Rappels sur les primitives

II – Équations différentielles linéaires d’ordre 1 :
1°) Cas de l’équation sans second membre
2°) Structure des solutions d’une équation différentielle linéaire
3°) Recherche d’une solution particulière : méthode de variation de la constante
4°) Le principe de superposition de solutions

TD :

Exercices du chapitre H :
* Exercice H2 : tracé d’une courbe paramétrée à partir du tableau des variations conjointes.
* Exercice H1 : 2°) étude d’une courbe paramétrée.

Mardi 12 novembre

TD :

* Exercice H5 : tangentes d’une courbe remarquable (concours ATS 2012).
* Exercice H4 : construction d’une tractrice.

Pour le mardi 26/11 : faire le devoir maison n°8.

Mercredi 13 novembre

II – Équations différentielles linéaires d’ordre 1 :
5°) Le problème de Cauchy

III – Équations différentielles linéaires d’ordre 2 :
1°) Cas de l’équation à coefficients constants sans second membre
2°) Forme d’une solution particulière selon le second membre

IV – Équations différentielles générales :
1°) Résolution approchée : la méthode d’Euler
2°) Théorème de Cauchy-Lipschitz et applications
3°) Changement de fonction

Vendredi 15 novembre

Chapitre J : Suites numériques

Partie A : Généralités
I – La notion de suite :
1°) Définitions
2°) Différentes façons de définir une suite
3°) Représentation graphique d’une suite réelle
4°) Opérations sur les suites
5°) Monotonie d’une suite
6°) Suite majorée, suite minorée, suite bornée

II – Suites arithmétiques, suites géométriques :
1°) Les suites arithmétiques
2°) Les suites géométriques

Partie B : limite d’une suite réelle
I – Suites convergentes :
1°) Définitions
2°) Théorèmes sur les limites (non terminé)

TD :

Exercices du chapitre I :
* Exercice I1 : équation différentielle de solution donnée
* Exercice I4 : équations différentielles linéaires d’ordre 1 : 2°) et 3°)
* Exercice I8 : équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants : 1°)
* Exercice I5 : loi de refroidissement de Newton : 1°)

Mardi 19 novembre

TD :

* Exercice I5 : loi de refroidissement de Newton : fin.
* Exercice I10 : équation différentielle à variables séparables.
* Exercice I2 : équation différentielle linéaire d’ordre 2.
* Exercice I9 : un problème de Cauchy d’ordre 2.

Mercredi 20 novembre

Partie B : limite d’une suite réelle
I – Suites convergentes :
2°) Théorèmes sur les limites (fin)

II – Suites de limite infinie :
1°) Définition
2°) Théorème sur les limites
3°) Limite de qⁿ

III – Limites et composition :
1°) Théorème
2°) Exemple d’utilisation
3°) Corollaire : cas des suites récurrentes d’ordre 1

IV – Comportement asymptotique des suites monotones :
1°) Cas de divergence
2°) Cas de convergence
3°) Suites adjacentes

DS n°2

Vendredi 22 novembre

Chapitre K : Matrices

I – Notion de matrice et opérations :
1°) Définitions
2°) Multiplication d’une matrice et d’une matrice colonne
3°) Multiplication de deux matrices
4°) Matrices inversibles (non terminé)

TD :

Exercices du chapitre J :
* Exercice J1 : écriture fractionnaire d’un nombre à partie décimale périodique.
* Exercice J2 : étude d’une suite homographique.
* Exercice J5 : somme des inverses des factorielles : 1°).

Mardi 26 novembre

TD :

Exercices du chapitre J :
* Exercice J5 : somme des inverses des factorielles : fin.
* Exercice J3 : étude d’une suite récurrente de nombres complexes : 1°) à 6°).

Pour le mardi 03/12 : faire le devoir maison n°9.

Mercredi 27 novembre

I – Notion de matrice et opérations :
4°) Matrices inversibles (fin)
5°) Matrice transposée
6°) Matrices d’opérations élémentaires

II – Application linéaire associée à une matrice :
1°) Image d’une matrice
2°) Noyau d’une matrice
3°) Rang d’une matrice

Vendredi 29 novembre

Chapitre L : Géométrie dans l’espace

I – Repérage dans l’espace :
1°) Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires
2°) Bases et repères de l’espace

II – Produit scalaire dans l’espace :
1°) Définition
2°) Propriétés

III – Produit vectoriel :
1°) Définitions
2°) Propriétés

IV – Déterminant ou produit mixte :
1°) Définitions
2°) Propriétés

TD :

Exercices du chapitre K :
* Exercice K2 : groupe orthogonal spécial du plan euclidien.
* Exercice K1 : puissances d’une matrice diagonalisable.

Mardi 03 décembre

TD :

Exercices du chapitre K :
* Exercice K7 : noyau et image d’une matrice.
* Exercice K4 : résolution d’un système différentiel linéaire (2×2).

Pour le mardi 10/12 : faire le devoir maison n°10.

Mercredi 04 décembre

V – Plans :
1°) Définition et systèmes d’équations paramétriques d’un plan
2°) Équation cartésienne d’un plan
3°) Distance d’un point à un plan
4°) Position relative de deux plans

VI – Droites :
1°) Position relative de deux droites
2°) Distance d’un point à une droite

VII – Sphères :
1°) Définition
2°) Équation cartésienne d’une sphère
3°) Intersection d’une sphère et d’un plan

Vendredi 06 décembre

Chapitre M : Limites, comparaison, continuité, dérivabilité

I – Limites de fonctions :
1°) Limite en un réel
2°) Limite en l’infini
3°) Règles opératoires sur les limites
4°) Techniques pour lever les formes indéterminées

II – Comparaison de fonctions, négligeabilité et équivalence :
1°) Inégalités et limites
2°) Relation de négligeabilité

TD :

Exercices du chapitre L :
* Exercice L3 : distance point-plan.
* Exercice L1 : produit vectoriel et loi des sinus.
* Exercice L2 : différence des vecteurs de deux bases orthonormées directes.

Mardi 10 décembre

TD :

Exercices du chapitre L :
* Exercice L4 : intersection de trois plans : fin.
* Exercice L6 : perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires.

Pour le mardi 17/12 : faire le devoir maison n°11.

Mercredi 11 décembre

II – Comparaison de fonctions, négligeabilité, dérivabilité :
3°) Relation d’équivalence

III – Continuité :
1°) Définition
2°) Propriétés
3°) La fonction partie entière
4°) Théorèmes sur les fonctions continues

IV – Dérivabilité :
1°) Nombre dérivé, fonction dérivée
2°) Opérations sur les fonctions dérivables (non terminé)

Vendredi 13 décembre

IV – Dérivabilité :
2°) Opérations sur les fonctions dérivables (fin)
3°) Propriétés des fonctions dérivables
4°) Fonctions de classe C^k

TD :

Exercices du chapitre M :
* Exercice M2 : limites avec équivalents.
* Exercice M4 : suite implicite avec partie entière.
* Exercice M3 : équivalent d’une suite : 1°).

Mardi 17 décembre

TD :

Exercices du chapitre M :
* Exercice M3 : équivalent d’une suite : fin.
* Exercice M5 : dérivabilité d’une fonction réciproque.
* Exercice M6 : étude d’une suite et accroissements finis : juste commencé.

Pour le mardi 14/01 : faire le devoir maison n°12.

Mercredi 18 décembre

Chapitre N : Intégrale sur un segment

I – Intégrale d’une fonction continue :
1°) Définitions
2°) Propriétés de l’intégrale
3°) Extension de la notion d’intégrale

II – Intégrales et primitives :
1°) Rappels sur les primitives
2°) Le théorème fondamental
3°) Des primitives remarquables

Vendredi 20 décembre

III – Méthodes de calcul d’intégrales :
1°) L’intégration par parties
2°) Le changement de variable

Chapitre O : Développements limités

I – Généralités sur les développements limités :
1°) Définitions
2°) Propriété d’unicité
3°) Propriété de troncature
4°) Propriété de parité

II – Propriétés des développements limités :
1°) Développements limités et opérations (non terminé)

TD :

Exercices du chapitre M :
* Exercice M6 : limites avec équivalents (fin).
Exercices du chapitre N :
* Exercice N1 : intégrale d’un polynôme trigonométrique.
* Exercice N3 : intégration par parties.

Mardi 07 janvier

TD :

Exercices du chapitre N :
* Exercice N5 : changement de variable et intégration par parties.
* Exercice N6 : équation différentielle linéaire d’ordre 1 et intégration par parties.
* Exercice N8 : suite d’intégrales.

Pour le mardi 14/01 : faire le devoir maison n°12.

Mercredi 08 janvier

II – Propriétés des développements limités :
1°) Développements limités et opérations (fin)
2°) Développement limité, continuité, dérivabilité
3°) Intégration d’un développement limité
4°) La formule de Taylor-Young
5°) Développements limités de référence

III – Applications des développements limités :
1°) Calculs de limites
2°) Détermination d’équivalents, étude de signe
3°) Détermination d’asymptote et position relative

DS n°3

Vendredi 10 janvier

Chapitre P : Espaces vectoriels

I – Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels :
1°) Notion d’espace vectoriel
2°) Notion de sous-espace vectoriel
3°) Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs
4°) Intersection de sous-espaces vectoriels
5°) Somme de sous-espaces vectoriels

II – Familles de vecteurs :
1°) Familles libres de vecteurs (non terminé)

TD :

Exercices du chapitre O :
* Exercice O1 : développements limités.
* Exercice O3 : recherche d’un équivalent.
* Exercice O4 : limite d’une suite.

Mardi 14 janvier

TD :

Exercices du chapitre O :
* Exercice O2 : limites et développements limités.
* Exercice O5 : étude locale.
* Exercice O6 : fonction Arc tangente.

Pour le mardi 21/01 : faire le devoir maison n°13.

Mercredi 15 janvier

II – Familles de vecteurs :
1°) Familles libres de vecteurs (fin)
2°) Bases et coordonnées
3°) Caractérisation d’une base
4°) Bases et sommes directes

III – Dimension finie :
1°) Espaces vectoriels de dimension finie
2°) Définition de la dimension
3°) Caractérisations d’une base
4°) Dimension et sous-espaces vectoriels
5°) Changement de base

Vendredi 17 janvier

Chapitre Q : Applications linéaires

I – Notion d’application linéaire :
1°) Définitions et exemples
2°) Application linéaire déduite d’une matrice
3°) Matrice d’une application linéaire
4°) Changement de base

II – Noyau et image d’une application linéaire :
1°) Noyau d’une application linéaire (non terminé)

TD :

Exercices du chapitre P sur les espaces vectoriels :
* Exercice P1 : reconnaître un espace vectoriel.
* Exercice P5 : sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel des suites (non terminé).

Mardi 21 janvier

TD :

Exercices du chapitre P sur les espaces vectoriels :
* Exercice P6 : dimension d’un espace vectoriel.
* Exercice P3 : projection orthogonale sur un plan.

Pour le mardi 28/01 : faire le devoir maison n°14.

Mercredi 22 janvier

II – Noyau et image d’une application linéaire :
1°) Noyau d’une application linéaire (fin)
2°) Image d’une application linéaire

III – Applications linéaires :
1°) Morphismes
2°) Homothéties, projecteurs, symétries

Vendredi 24 janvier

Chapitre R : Applications linéaires

I – Définitions et exemples :
1°) Notion de série numérique
2°) Séries géométriques
3°) Série de Riemann

II – Séries à termes positifs :
1°) Alternative du comportement d’une série à termes positifs
2°) Comparaisons de séries à termes positifs
3°) Séries à termes positifs et équivalents
4°) Convergence absolue

III – Méthodes d’études :
1°) Critère suffisant de divergence
2°) Séries télescopiques (non terminé)

TD :

Exercices du chapitre Q sur les applications linéaires :
* Exercice Q1 : endomorphisme et changement de base.
* Exercice Q2 : composée d’un endomorphisme du plan.
* Exercice Q3 : espace des exponentielles-polynômes de degré 2 (non terminé).

Mardi 28 janvier

TD :

Exercices du chapitre Q sur les applications linéaires :
* Exercice Q3 : espace des exponentielles-polynômes de degré 2 (non terminé).
* Exercice Q5 : symétrie du plan vectoriel.
* Exercice Q6 : endomorphisme défini par l’image d’une base.

Pour le mardi 04/02 : faire le devoir maison n°15.

Mercredi 29 janvier

III – Méthodes d’études :
2°) Séries télescopiques (fin)
3°) Séries alternées
4°) Critère de d’Alembert
5°) Comparaison d’une série avec une intégrale
6°) Méthodes de calcul de la somme

Exercices du chapitre R sur les séries numériques :
* Exercice R1 : nature d’une série.

Vendredi 31 janvier

Chapitre S : Polynômes et fractions rationnelles

I – Notion de polynôme :
1°) L’espace vectoriel des polynômes
2°) Degré d’un polynôme
3°) Division euclidienne de polynômes

II – Racines de polynômes :
1°) Racines et factorisation
2°) Factorisation dans $\mathbb{C}$ [X]
3°) Factorisation dans $\mathbb{R}$ [X]

III – Fractions rationnelles :
1°) Notion de fraction rationnelle

TD :

Exercices du chapitre R sur les séries numériques :
* Exercice R2 : nature de séries numériques.
* Exercice R3 : nature de séries numériques : 1°).

Mardi 04 février

TD :

Exercices du chapitre R sur les séries numériques :
* Exercice R3 : nature de séries numériques : fin.
* Exercice R4 : convergence et calcul de la somme d’une série.
* Exercice R5 : formule de Stirling : 1°) et 2°).

Mercredi 05 février

III – Fractions rationnelles :
1°) Notion de fraction rationnelle (fin)
2°) Degré d’une fraction rationnelle
3°) Partie entière d’une fraction rationnelle

IV – Pôles d’une fraction rationnelle :
1°) Notion de pôle d’une fraction rationnelle
2°) Décomposition en éléments simples sur $\mathbb{C}$
3°) Obtenir les coefficients d’une décomposition en éléments simples
4°) Décomposition en éléments simples sur $\mathbb{R}$

Vendredi 7 février

Chapitre T : Déterminants

I – Le déterminant : une forme multilinéaire alternée :
1°) La notion de déterminant
2°) Multilinéarité du déterminant
3°) Caractère alterné du déterminant

II – Déterminant d’un produit de matrices :
1°) Cas de déterminants nuls (non terminé)

TD :

Exercices du chapitre S sur les polynômes et fractions rationnelles :
* Exercice S1 : division euclidienne et asymptote.
* Exercice S5 : factorisation de polynômes dans C[X] et R[X] : 1°) et 2°).
* Exercice S6 : puissances d’une matrice et polynôme annulateur : 1°) et 2°)

Mardi 25 février

TD :

Exercices du chapitre S sur les polynômes et fractions rationnelles :
* Exercice S6 : puissances d’une matrice et polynôme annulateur : fin.
* Exercice S9 : intégrale et éléments simples.
* Exercice S8 : dérivées successives.

Mercredi 26 février

II – Déterminant d’un produit de matrices :
1°) Cas de déterminants nuls (fin)
2°) Multiplicativité du déterminant
3°) Invariance du déterminant par transposition

III – Exemples et applications :
1°) Déterminant d’une famille de vecteurs
2°) Déterminant d’un endomorphisme
3°) Déterminant d’une matrice bloc triangulaire

Exercices du chapitre T sur les déterminants :
* Exercice T1 : calculs de déterminants.
* Exercice T2 : calculs de déterminants à paramètres : 1°) à 4°).

DS n°4

Vendredi 28 février

Chapitre U : Séries de Fourier

I – Compléments sur les fonctions définies par morceaux :

II – Coefficients et séries de Fourier :
1°) Coefficients de Fourier
2°) Série de Fourier d’une fonction

III – Théorèmes de convergence :
1°) Théorème de Parseval
2°) Théorème de Dirichlet

TD :

Exercices du chapitre T sur les déterminants :
* Exercice T2 : 5°) : fin.
* Exercice T8 : déterminant et automorphisme polynomial.
* Exercice T3 : déterminant d’ordre n.
* Exercice T4 : déterminant et relation de récurrence.

Mardi 03 mars

TD :

Exercices du chapitre T sur les déterminants :
* Exercice T5 : déterminant et alignement de trois points du plan.
* Exercice T6 : déterminant d’une matrice antisymétrique.
* Exercice T7 : déterminant d’une base de l’espace.
* Exercice T9 : déterminant à paramètre et automorphisme de l’espace.

Mercredi 04 mars

Chapitre V : Réduction des endomorphismes

I – Éléments propres et polynôme caractéristique :
1°) Éléments propres d’un endomorphisme
2°) Polynôme caractéristique d’un endomorphisme
3°) Extension aux matrices des notions précédentes

II – Endomorphismes et matrices diagonalisables :
1°) Cas des endomorphismes (non terminé)

Vendredi 06 mars

II – Endomorphismes et matrices diagonalisables :
1°) Cas des endomorphismes (fin)
2°) Cas des matrices

III – Endomorphismes et matrices trigonalisables :
1°) Trace d’une matrice, trace d’un endomorphisme
2°) Cas des endomorphismes
3°) Cas des matrices

IV – Applications de la réduction des endomorphismes :
1°) Puissances de matrices
2°) Systèmes récurrents linéaires homogènes

TD :

Exercices du chapitre U sur les séries de Fourier :
* Exercice U1 : calculs de coefficients de Fourier.

Mardi 10 mars

TD :

Exercices du chapitre U sur les séries de Fourier :
* Exercice U5 : séries de Fourier et calculs de sommes.

Mercredi 11 mars

IV – Applications de la réduction des endomorphismes :
3°) Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants

V – Isométries vectorielles et matrices orthogonales

VI – Classification des isométries vectorielles en dimensions 2 et 3 :
1°) Le groupe orthogonal du plan
2°) Le groupe orthogonal de l’espace

VII – Matrices symétriques réelles

Vendredi 13 mars

Chapitre W : Intégrales généralisées

I – Intégrale d’une fonction continue sur un intervalle :
1°) Définitions
2°) Propriétés

II – Intégrale d’une fonction continue positive sur un intervalle :
1°) Théorèmes de comparaison
2°) Convergence absolue

TD :

Exercices du chapitre V sur la réduction des endomorphismes :
* Exercice V1 : vérifier que des vecteurs sont propres.
* Exercice V2 : diagonalisabilité d’une matrice à paramètre.
* Exercice V5 : puissances d’une matrice par diagonalisation.

Mardi 17 mars

TD :

Exercices du chapitre V sur la réduction des endomorphismes :
* Exercice V4 : matrice à paramètre de valeur propre fixée et diagonalisation.
* Exercice V9 : système différentiel linéaire d’ordre 1 de taille 2×2.
* Exercice V6 : famille de matrices, puissances de l’une d’entre elles (non terminé).

Mercredi 18 mars

Exercices du chapitre V sur la réduction des endomorphismes :
* Exercice V6 : famille de matrices, puissances de l’une d’entre elles (fin).
* Exercice V10 : système récurrent linéaire.
* Exercice V11 : suite de Fibonacci et matrices.
* Exercice V12 : matrice 3×3 avec valeur propre triple.

Vendredi 20 mars

Chapitre X : Séries entières

I – Convergence d’une série entière :
1°) Définitions
2°) Rayon de convergence
3°) Disque et intervalle de convergence

II – Somme d’une série entière d’une variable réelle :
1°) Définition
2°) Théorème de continuité
3°) Théorème de dérivation terme à terme

TD :

Exercices du chapitre W sur les intégrales généralisées :
* Exercice W1 : nature d’intégrales impropres.
* Exercice W2 : calculs d’intégrales convergentes : 1°).

Mardi 24 mars

TD :

Exercices du chapitre W sur les intégrales généralisées :
* Exercice W2 : calculs d’intégrales convergentes : fin.
* Exercice W5 : valeur principale et convergence d’une intégrale.

Mercredi 25 mars

II – Somme d’une série entière d’une variable réelle :
4°) Théorème d’intégration terme à terme

III – Fonctions développables en série entière :
1°) Définition
2°) Propriétés
3°) Développements en série entière usuels
4°) Exemples de calculs de développements en série entière
5°) Exemples de calculs de sommes de séries entières

Vendredi 27 mars

Chapitre Y : Fonctions de plusieurs variables

I – Introduction à la topologie de Rⁿ :
1°) La norme euclidienne de Rⁿ
2°) La distance euclidienne de Rⁿ
3°) Éléments de topologie de Rⁿ

II – Limites et continuité :
1°) Définition
2°) Propriétés

III – Dérivées partielles, applications de classe C¹ et C² sur une partie ouverte :
1°) Dérivées partielles
2°) Application de classe C¹
3°) Dérivées partielles et composition (non terminé)

TD :

Exercices du chapitre X sur les séries entières :
* Exercice X1 : rayon de convergence.
* Exercice X3 : rayon de convergence et calcul de somme.

Mardi 31 mars

TD :

Exercices du chapitre X sur les séries entières :
* Exercice X2 : développement en série entière en zéro.
* Exercice X6 : équation différentielle et série entière.

Mercredi 1er avril

III – Dérivées partielles, applications de classe C¹ et C² sur une partie ouverte :
3°) Dérivées partielles et composition (fin)

IV – Extremums d’une fonction de deux variables :
1°) Extremum local d’une fonction
2°) Étude des points critiques d’une fonction