Cahier de texte – prépa ATS – Maths – Les CPGE du Lycée Jean Jaurès

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Très bonne année à tous, soyez travailleurs et ambitieux !

Mercredi 2 septembre

Présentation générale du programme, du travail et des objectifs de l’année.
Puis cours en classe entière :

Chapitre A : Comparaison de nombres réels

I – Les nombres réels :
1°) Une définition
2°) La valeur absolue

II – Égalités et équations :
1°) Puissances
2°) Méthodes de démonstration d’une égalité
3°) Fractions
4°) Équations
5°) Équations du second degré

III – Inégalités et inéquations :
1°) Signe d’un nombre réel
2°) Signe d’expressions de référence
3°) Inégalités équivalentes (non terminé)

Pour vendredi 04/09 : faire l’exercice en page 7 du cours.
Pour lundi 07/09 : faire le devoir maison n°1.

Vendredi 4 septembre

III – Inégalités et inéquations :
3°) Inégalités équivalentes (fin)
4°) Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure

IV – Utiliser les fonctions :
1°) Inéquations et fonctions
2°) Application de la monotonie aux inégalités et recherches de signe
3°) Liens entre fonctions et équations
4°) Image directe

TD :

* Exercice A1 : égalité et équation.
* Exercice A2 : équations.
* Exercice A12 : étude d’une fonction définie avec des valeurs absolues.
* Exercice A5 : résolution d’inéquations : 1°) 2°) 3°).

Lundi 7 septembre

TD :

* Exercice A9 : une inégalité.
* Exercice A13 : image d’une fonction : 1°) et 3°).
* Exercice A11 : comparaison de deux nombres.
* Exercice A3 : deux inégalités.

Pour le lundi 14/09 : faire le devoir maison n°2.

Mercredi 9 septembre

Chapitre B : Systèmes linéaires et géométrie

I – Systèmes linéaires :
1°) Définition d’un système linéaire
2°) Opérations élémentaires
3°) Méthode du pivot de Gauss
4°) Aspects théoriques de la méthode du pivot

II – Vecteurs et points :
1°) Rappels sur les vecteurs et généralisation
2°) Bases, repères et coordonnées (juste commencé)

Vendredi 11 septembre

II – Vecteurs et points :
2°) Bases, repères et coordonnées (fin)

III – Droites et plans :
1°) Droites affines
2°) Passer des équations cartésiennes aux équations paramétriques
3°) Plans affines
4°) Intersection

IV – Configurations de droites et de plans :
1°) Incidence de deux droites dans le plan
2°) Incidence de deux plans, une droite un plan, deux droites, dans l’espace

* Exercice B4 : Caractéristiques de droites du plan : 1°) et 2°)

TD :

Exercices du chapitre B :
* Exercice B4 : Caractéristiques de droites du plan : 3°) 4°) et 5°).
* Exercice B2 : un polynôme inconnu.
* Exercice B6 : étude d’une transformation du plan.

Lundi 14 septembre

TD :

* Exercice B1 : résolution d’un système comportant un paramètre
* Exercice B7 : changement de repère appliqué à l’étude d’une courbe
* Exercice B8 : équation cartésienne d’un plan de l’espace, plusieurs situations

Séance de préparation aux colles :
Cas pratique de la première semaine : au programme, les chapitres A et B
Parcours du programme et consultation systématique des différentes parties du cours correspondantes pour chacun des chapitres
Un exemple de sujet distribué et remarques pour chacun des exercices

Pour le lundi 21/09 : faire le devoir maison n°3.

Mercredi 16 septembre

Chapitre C : Les fonctions

I – Généralités sur les fonctions :
1°) La notion de fonction
2°) Composition de fonctions et fonction réciproque
3°) Propriétés de symétrie
4°) Asymptotes
5°) Tangentes

II – Fonctions polynômes, fonctions racines :
1°) Fonctions polynômes
2°) Fonctions affines
3°) Trinômes du second degré
4°) Fonction inverse
5°) Fonction racine n-ième

Vendredi 18 septembre

III – Fonctions logarithmes et exponentielles :
1°) La fonction logarithme népérien
2°) La fonction exponentielle
3°) Les fonctions exponentielles de base a
4°) Les fonctions logarithmes de base a
5°) Les fonctions hyperboliques

TD :

Exercices du chapitre C :
* Exercice C11 : lecture de graphique (d’une dérivée) et d’énoncé.
* Exercice C3 : étude d’une fonction et de sa réciproque.
* Exercice C5 : image d’une fonction (non terminé).

Lundi 21 septembre

TD :

* Exercice C5 : image d’une fonction (fin)
* Exercice C4 : borne sup et borne inf d’une fonction
* Exercice C6 : formules de trigonométrie hyperbolique
* Exercice C8 : équations 1°) et 2°).

Pour le lundi 05/10 : faire le devoir maison n°4.

Mercredi 23 septembre

Chapitre D : Les entiers

I – Le raisonnement par récurrence :
1°) Les entiers
2°) Le raisonnement par récurrence

II – Sommes et produits :
1°) Sommes et produits d’indices entiers : introduction des notations $\Sigma$ et $\Pi$
2°) Sommes de référence

DS n°1

Vendredi 25 septembre

III – La formule du binôme de Newton :
1°) La factorielle
2°) Les coefficients binomiaux
3°) Aspects combinatoires
4°) La formule du binôme
5°) La formule de Leibniz

TD :

Exercices du chapitre D :
* Exercice D1 : composées successives.
* Exercice D3 : sommes de référence.
* Exercice D4 : somme télescopique.
* Exercice D5 : produits.

Lundi 28 septembre

TD :

* Exercice D6 : sommes binomiales.
* Exercice D7 : somme binomiale.
* Exercice D10 : dérivées successives.

Pour le lundi 05/10 : faire le devoir maison n°4.
Pour le lundi 12/10 : faire le devoir maison n°5.

Mercredi 30 septembre

Chapitre E : Les nombres complexes

I – Introduction des nombres complexes :
1°) L’ensemble des nombres complexes
2°) Propriétés des opérations
3°) Représentation géométrique

II – Conjugué d’un nombre complexe :
1°) Définition
2°) Propriétés de la conjugaison
3°) Applications

III – Module d’un nombre complexe :
1°) Définition2°) Propriétés du module

IV – Nombres complexes de module 1 :
1°) Le groupe ( $\mathbb{U}$ ,×)
2°) e^iθ, θ∈ $\mathbb{R}$ . Propriétés, formules de Moivre et d’Euler

Vendredi 2 octobre

V – Argument d’un nombre complexe non nul :
1°) Les coordonnées polaires
2°) La notion d’argument
3°) Exponentielle d’un nombre complexe

VI – Équations du second degré dans $\mathbb{C}$ :
1°) L’équation du second degré à coefficients réels et discriminant négatif
2°) Les racines carrées d’un nombre complexe
3°) Cas de l’équation du second degré à coefficients complexes

VII – Les racines n-ièmes d’un nombre complexe :
1°) Définitions
2°) Les racines n-ièmes de l’unité
3°) Les racines n-ièmes d’un nombre complexe

VIII – Nombres complexes et géométrie :
1°) Applications du module
2°) Applications de l’argument
3°) Applications aux transformations du plan

TD :

Fin du cours :
VIII – Nombres complexes et géométrie :
3°) Applications aux transformations du plan

Exercices du chapitre E :
* Exercice E2 : simplification d’un nombre complexe
* Exercice E1 : identité du parallélogramme
* Exercice E3 : calcul de cos(pi/12) et sin(pi/12)
* Exercice E5 : nombres complexes z tels que z^7 et z^-2 conjugués

Lundi 5 octobre

TD :

* Exercice E6 : résolution d’une équation de degré 4.
* Exercice E7 : racines cubiques de -i.
* Exercice E9 : projection du plan sur un cercle.

Pour le lundi 12/10 : faire le devoir maison n°5.

Mercredi 7 octobre

Chapitre F : Trigonométrie

I – Sinus, cosinus et tangente d’un nombre réel :
1°) Définitions
2°) Linéarisation
3°) Anti-linéarisation
4°) Formulaire de trigonométrie
5°) Équations trigonométriques
6°) Inéquations trigonométriques

Vendredi 9 octobre

II – Les fonctions circulaires :
1°) Définitions
2°) La fonction sinus
3°) La fonction cosinus
4°) La fonction tangente

III – Les fonctions circulaires réciproques :
1°) Rappels
2°) La fonction Arc tangente
3°) La fonction Arc sinus
4°) La fonction Arc cosinus

TD :

Exercices du chapitre F :
* Exercice F10 : linéarisation et calcul d’une intégrale.
* Exercice F11 : calcul d’une somme trigonométrique.
* Exercice F2 : arctan(7)+2arctan(3)=5 $\pi$ /4.

Lundi 12 octobre

TD :

Exercices du chapitre F :
* Exercice F1 : somme télescopique avec arctan.
* Exercice F3 : simplifier une expression trigonométrique.
* Exercice F6 : équations avec arccos et arcsin.

Pour le lundi 02/11 : faire le devoir maison n°6.
Pour le lundi 09/11 : faire le devoir maison n°7.

Mercredi 14 octobre

Chapitre G : Géométrie plane

I – Géométrie euclidienne dans $\mathbb{R}^n$ :
1°) Produit scalaire canonique dans $\mathbb{R}^n$
2°) Norme d’un vecteur
3°) Angle géométrique de deux vecteurs

II – Géométrie euclidienne dans le plan :
1°) Norme, angle
2°) Vecteur normal d’une droite
3°) Produit scalaire et droites (non terminé)

Vendredi 16 octobre

II – Géométrie euclidienne dans le plan :
3°) Produit scalaire et droites (fin)
4°) Cercles du plan

III – Déterminant de deux vecteurs du plan :
1°) Définition du déterminant
2°) Propriétés du déterminant
3°) Déterminant et orientation du plan
4°) Déterminant et aire

TD :

Exercices du chapitre G :
* Exercice G3 : intersection de courbes.
* Exercice G2 : équation du cercle circonscrit d’un triangle.
* Exercice G5 : équation d’un lieu de points.

Lundi 2 novembre

TD :

Exercices du chapitre G :
* Exercice G8 : autour d’un parallélogramme.
* Exercice G6 : tangentes à un cercle.
* Exercice G4 : cercle inscrit d’un triangle.

Pour le lundi 09/11 : faire le devoir maison n°7.

Mercredi 4 novembre

Chapitre H : Courbes paramétrées du plan

I – Fonctions d’une variable réelle à valeurs dans $\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{R}^3$ :
1°) Définition d’une fonction vectorielle
2°) Propriétés des fonctions vectorielles

II – Courbes paramétrées du plan :
1°) Définition d’une courbe paramétrée
2°) Tangente en un point d’une courbe paramétrée
3°) Longueur d’un arc de courbe paramétrée

III – Étude d’une courbe paramétrée du plan :
1°) Plan d’étude

DS n°2

Vendredi 6 novembre

III – Étude d’une courbe paramétrée du plan :
1°) Plan d’étude
2°) Réduction du domaine d’étude
3°) Étude des variations simultanées des coordonnées
4°) Étude des branches infinies
Étude détaillée d’un exemple

TD :

Exercices du chapitre H :
* Exercice H2 : autour d’un parallélogramme.
* Exercice H1 : étude d’une courbe paramétrée : la 2°).

Lundi 9 novembre

TD :

Exercices du chapitre H :
* Exercice H5 : tangentes d’une courbe remarquable.
* Exercice H4 : construction d’une tractrice : le 1°).

Pour le lundi 16/11 : faire le devoir maison n°8.

Vendredi 13 novembre

Chapitre I : Équations différentielles

I – Généralités :
1°) Notion d’équation différentielle
2°) Rappels sur les primitives

II – Équations différentielles linéaires d’ordre 1 :
1°) Cas de l’équation sans second membre
2°) Structure des solutions d’une équation différentielle linéaire
3°) Recherche d’une solution particulière : méthode de variation de la constante
4°) Le principe de superposition de solutions
5°) Le problème de Cauchy

III – Équations différentielles linéaires d’ordre 2 :
1°) Cas de l’équation à coefficients constants sans second membre
2°) Forme d’une solution particulière selon le second membre

Lundi 16 novembre

IV – Équations différentielles générales :
1°) Résolution approchée : la méthode d’Euler
2°) Théorème de Cauchy-Lipschitz et applications
3°) Changement de fonction

TD :

Exercices du chapitre I :
* Exercice I1 : équation différentielle de solution donnée
* Exercice I4 : équations différentielles linéaires d’ordre 1 : 2°) et 3°)
* Exercice I8 : équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants : 1°)
* Exercice I5 : loi de refroidissement de Newton

Mercredi 18 novembre

Chapitre J : Suites numériques

Partie A : Généralités
I – La notion de suite :
1°) Définitions
2°) Différentes façons de définir une suite
3°) Représentation graphique d’une suite réelle
4°) Opérations sur les suites
5°) Monotonie d’une suite
6°) Suite majorée, suite minorée, suite bornée

II – Suites arithmétiques, suites géométriques :
1°) Les suites arithmétiques
2°) Les suites géométriques

Partie B : limite d’une suite réelle
I – Suites convergentes :
1°) Définitions (non terminé)

Vendredi 20 novembre

Partie B : limite d’une suite réelle
I – Suites convergentes :
1°) Définitions (fin)
2°) Théorèmes sur les limites

II – Suites de limite infinie :
1°) Définition
2°) Théorème sur les limites
3°) Limite de qⁿ

III – Limites et composition :
1°) Théorème
2°) Exemple d’utilisation
3°) Corollaire : cas des suites récurrentes d’ordre 1

IV – Comportement asymptotique des suites monotones :
1°) Cas de divergence
2°) Cas de convergence
3°) Suites adjacentes

V – Comparaison de suites :
1°) Relation de négligeabilité
2°) Relation d’équivalence

TD :

Exercices du chapitre J :
* Exercice J1 : écriture fractionnaire d’un nombre à partie décimale périodique.
* Exercice J2 : étude d’une suite homographique.

Lundi 23 novembre

TD :

Exercices du chapitre J :
* Exercice J5 : somme des inverses des factorielles : fin.
* Exercice J3 : étude d’une suite récurrente de nombres complexes : 1°) à 5°).

Pour le lundi 30/11 : faire le devoir maison n°10.

Mercredi 25 novembre

Chapitre K : Matrices

I – Notion de matrice et opérations :
1°) Définitions
2°) Multiplication d’une matrice et d’une matrice colonne
3°) Multiplication de deux matrices
4°) Matrices inversibles (non terminé)

Vendredi 27 novembre

I – Notion de matrice et opérations :
4°) Matrices inversibles (fin)
5°) Matrice transposée
6°) Matrices d’opérations élémentaires

II – Application linéaire associée à une matrice :
1°) Image d’une matrice
2°) Noyau d’une matrice
3°) Rang d’une matrice

TD :

Exercices du chapitre K :
* Exercice K2 : groupe orthogonal spécial du plan euclidien.
* Exercice K1 : puissances d’une matrice diagonalisable.

Lundi 30 novembre

TD :

Exercices du chapitre K :
* Exercice K7 : noyau et image d’une matrice 4×3.
* Exercice K4 : système différentiel et racine de l’identité.

Pour le lundi 14/12 : faire le devoir maison n°11.