Accueil Cahier de texte Colles Liens et documents
I – Les nombres réels :
1°) Une définition
2°) La valeur absolue
II – Égalités et équations :
1°) Puissances
2°) Fractions
3°) Équations
Pour le mercredi 12/09 : faire le devoir maison n°1.
II – Égalités et équations :
4°) Équations du second degré
III – Inégalités et inéquations :
1°) Signe d’un nombre réel
2°) Signe d’expressions de référence
3°) Inégalités équivalentes
4°) Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure
IV – Utiliser les fonctions :
1°) Inéquations et fonctions
2°) Application de la monotonie aux inégalités et recherches de signe (partie non terminée)
Pour le lundi 10/09 : faire l’exercice A1 de la feuille d’exercices du chapitre A.
Correction de l’exercice A1.
IV – Utiliser les fonctions :
2°) Application de la monotonie aux inégalités et recherches de signe (fin)
3°) Liens entre fonctions et équations
Exercices :
ex A4 : construire une équation
ex A2 : résolution d’équations
TD :
* Exercice A12 : étude d’une fonction définie avec des valeurs absolues.
* Exercice A5 : résolution d’inéquations.
* Exercice A9 : inégalité.
* Exercice A13 : fonction injective, surjective, bijective, Im(f) : 1°) traité en détails.
TD :
* Exercice A13 : fonction injective, surjective, bijective, Im(f) : 3°) traité en détails.
* Exercice A11 : comparaison de deux nombres.
* Exercice A3 : inégalité arithmético-géométrique et application.
* Exercice A14 : bornes supérieure et inférieure d’une fonction.
I – Systèmes linéaires :
1°) Définition d’un système linéaire
2°) Opérations élémentaires
3°) Méthode du pivot de Gauss
4°) Aspects théoriques de la méthode du pivot
II – Vecteurs et points :
1°) Relation entre points et vecteurs (non terminé)
II – Vecteurs et points :
1°) Relation entre points et vecteurs (fin)
2°) Bases, repères et coordonnées
III – Droites et plans :
1°) Droites affines
2°) Passer des équations cartésiennes aux équations paramétriques
3°) Plans affines
IV – Configurations de droites et de plans :
1°) Incidence de deux droites dans le plan
2°) Incidence de deux plans, une droite un plan, deux droites, dans l’espace
Pour le mercredi 26/09 : faire le devoir maison n°2.
TD :
* Exercice B2 : un polynôme inconnu.
* Exercice B4 : caractéristiques de droites du plan.
* Exercice B6 : étude élémentaire d’une transformation du plan (non terminé).
TD :
* Correction de l’exercice B6.
* Exercice B1 : résolution d’un système dépendant d’un paramètre.
* Exercice B7 : changement de repère.
* Exercice B8 : équations de plans de l’espace.
I – Généralités sur les fonctions :
1°) La notion de fonction
2°) Composition de fonctions et fonction réciproque
3°) Propriétés de symétrie
4°) Asymptotes
5°) Tangentes
II – Fonctions polynômes, fonctions racines :
1°) Fonctions polynômes
2°) Fonctions affines
3°) Trinômes du second degré
4°) Fonction inverse
5°) Fonction racine n-ième
III – Fonctions logarithmes et exponentielles :
1°) La fonction logarithme népérien
2°) La fonction exponentielle
3°) Les fonctions exponentielles de base a, a>0
4°) Les fonctions logarithmes de base a, a>0 et a≠1
5°) Les fonctions hyperboliques
TD :
* Exercice C11 : lecture de graphique (d’une dérivée) et d’énoncé.
* Exercice C3 : étude d’une fonction et de sa réciproque.
* Exercice C5 : image d’une fonction (non terminé).
TD :
* Correction de l’exercice C5 : image d’une fonction.
* Exercice C4 : bornes supérieure et inférieure d’une fonction.
* Exercice C6 : trigonométrie hyperbolique.
* Exercice C8 : équations : 1°), 2°) et 3°).
I – Le raisonnement par récurrence :
1°) Les nombres entiers
2°) Le raisonnement par récurrence
* Exercice : ex D2 : 5°)
II – Sommes et produits :
1°) Sommes et produits d’indices entiers
2°) Sommes de référence (non terminé)
II – Sommes et produits :
2°) Sommes de références (fin)
III – Binôme de Newton :
1°) La factorielle
2°) Les coefficients binomiaux
3°) Aspects combinatoires
4°) La formule du binôme
5°) La formule de Leibniz
TD :
* Exercice D1 : composées successives.
* Exercice D3 : sommes de référence.
* Exercice D4 : sommes télescopiques.
* Exercice D5 : produits.
* Exercice D6 : sommes binomiales.
TD :
* Exercice D7 : somme binomiale.
* Exercice D10 : dérivées successives.
* Exercice D2 : récurrence, le 3°) (l’inégalité de Bernoulli).
I – Introduction des nombres complexes :
1°) L’ensemble des nombres complexes
2°) Propriétés des opérations
3°) Représentation géométrique
II – Conjugué d’un nombre complexe :
1°) Définition
2°) Propriétés de la conjugaison
3°) Application : forme algébrique d’un quotient
III – Module d’un nombre complexe :
1°) Définition
2°) Propriétés du module
IV – Nombres complexes de module 1 :
1°) Le groupe (
2°) eiθ, θ∈
Pour le lundi 15/10 : faire le devoir maison n°3.
DS1
IV – Nombres complexes de module 1 :
2°) point méthode pour la transformation d’expressions du type eiθ±eiθ’
V – Argument d’un nombre complexe non nul :
1°) Les coordonnées polaires
2°) La notion d’argument
3°) Exponentielle d’un nombre complexe
VI – Équations du second degré dans 
1°) L’équation à coefficients réels dans le cas Δ<0
2°) Les racines carrées d'un nombre complexe
3°) L'équation du second degré à coefficients complexes
VII – Les racines n-ièmes d’un nombre complexe :
1°) Définitions
2°) Les racines n-ièmes de l’unité
3°) Les racines n-ièmes d’un nombre complexe
VIII Nombres complexes et géométrie :
1°) Applications du module
2°) Applications de l’argument
3°) Applications aux transformations du plan
TD :
* Exercice du cours : VIII 1°).
* Exercice E1 : identité du parallélogramme.
* Exercice E3 : calcul de cos(π/12) et sin(π/12).
* Exercice E5 : trouver les nombres complexes tels que z7 et z-2 soient conjugués.
* Exercice E9 : projection du plan sur un cercle (juste commencé).
TD :
* Exercice E9 : projection du plan sur un cercle.
* Exercice E6 : résolution d’une équation de degré 4.
* Exercice E7 : racines cubiques de -i.
* Exercice E2 : simplification d’un nombre complexe.
I – Sinus, cosinus et tangente d’un nombre réel :
1°) Définitions
2°) Linéarisation
3°) Antilinéarisation
4°) Formulaire de trigonométrie
5°) Équations trigonométriques
6°) Inéquations trigonométriques
II – Les fonctions circulaires :
1°) Définitions
2°) La fonction sinus
3°) La fonction cosinus
4°) La fonction tangente
III – Les fonctions circulaires réciproques :
1°) Rappels (fonction réciproque et théorème de bijection)
2°) La fonction Arc tangente
3°) La fonction Arc sinus
4°) La fonction Arc cosinus
TD :
* Exercice F10 : linéarisation et intégrales.
* Exercice F11 : somme trigonométrique.
* Exercice F2 : arctan(7)+2arctan(3)=5π/4.
* Exercice F1 : somme télescopique avec arctan.
TD :
* Exercice F3 : simplifier une expression trigonométrique.
* Exercice F6 : équations : 1°) arccos(x) = arcsin(x) 2°) arccos(x) = arccos(1/4) + arcsin(1/3).
* Exercice F9 : étude des fonctions : 1°) x → cos2(x) + cos(x) 2°) x → arccos(cos(x)) 3°) x → arccos(cos(x)) + arcsin(sin(x)).
* Exercice F8 : une équation de degré 6 dans
* Exercice F7 : une équation trigonométrique.
I – Géométrie euclidienne dans 
1°) Produit scalaire canonique dans
2°) Norme d’un vecteur, inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire, théorème de Pythagore
3°) Angle géométrique de deux vecteurs
II – Géométrie euclidienne dans le plan :
1°) Norme, angle
2°) Vecteur normal d’une droite
3°) Produit scalaire et droites (non terminé)
Pour le lundi 05/11 : faire le devoir maison n°4.
II – Géométrie euclidienne dans le plan :
3°) Produit scalaire et droites (fin)
4°) Cercles du plan
III – Déterminant de deux vecteurs du plan :
1°) Définition du déterminant
2°) Propriétés du déterminant
3°) Déterminant et orientation du plan
4°) Déterminant et aire
TD :
* Exercice G3 : éléments caractéristiques et intersection d’une droite et d’un cercle.
* Exercice G2 : éléments caractéristiques et équation du cercle circonscrit d’un triangle.
* Exercice G5 : lieu de l’orthocentre d’un triangle dont un sommet est mobile sur une droite.
* Exercice G9 : diagonales d’un cerf-volant.
TD :
* Exercice G8 : déduire une distance point-droite d’un calcul d’aire.
* Exercice G6 : tangentes à un cercle passant par un point donné.
* Exercice G4 : cercle inscrit d’un triangle.
I – Fonctions d’une variable réelle à valeurs dans
1°) Définition d’une fonction vectorielle
2°) Propriétés des fonctions vectorielles
II – Courbes paramétrées dans le plan :
1°) Définition d’une courbe paramétrée
2°) Tangente en un point d’une courbe paramétrée
3°) Longueur d’un arc d’une courbe paramétrée
III – Étude d’une courbe paramétrée du plan :
1°) Plan d’étude
2°) Réduction du domaine d’étude (non terminé)
III – Étude d’une courbe paramétrée du plan :
2°) Réduction du domaine d’étude (fin)
3°) Étude des variations simultanées des coordonnées
4°) Étude des branches infinies
Étude d’un exemple
5°) Étude des points multiples
Étude d’un exemple (non terminé)
Pour le lundi 26/11 : faire le devoir maison n°5.
TD :
* Fin de l’exemple du III 5°) du cours.
* Exercice H2 : construction d’une courbe paramétrée à partir du tableau des variations simultanées des coordonnées.
* Exercice H1 : 2°) étude de la courbe paramétrée par : x(t) = (cos(t))2 + ln|sin(t)| et y(t) = sin(t) (non terminé).
TD :
* Exercice H1 : 2°) étude de la courbe paramétrée par : x(t) = (cos(t))2 + ln|sin(t)| et y(t) = sin(t) (fin).
* Exercice H5 : tangentes d’une courbe remarquable.
* Exercice H4 : construction d’une tractrice.
I – Généralités :
1°) Notion d’équation différentielle
2°) Rappels sur les primitives
II – Équations différentielles linéaires du premier ordre :
1°) Cas de l’équation sans second membre
2°) Structure des solutions d’une équation différentielle linéaire
3°) Recherche d’une solution particulière : méthode de variation de la constante
4°) Le principe de superposition des solutions
5°) Le problème de Cauchy
DS2
III – Équations différentielles linéaires du second ordre :
1°) Cas de l’équation à coefficients constants sans second membre
2°) Forme des solutions selon le second membre
IV Équations différentielles générales :
1°) Résolution approchée : la méthode d’Euler
2°) Théorème de Cauchy-Lipschitz et applications
3°) Changement de fonction
TD :
* Résolution du dernier exemple du cours : résoudre sur ]0;+∞[ 2t2y »+3ty’-y=0 sachant que t→1/t est solution.
* Exercice I1 : trouver une équation différentielle satisfaite par une fonction.
* Exercice I4 : 2°) et 3°) équations différentielles linéaires d’ordre 1 avec second membre.
* Exercice I8 : 1°) équation différentielle linéaire d’ordre 2 avec second membre.
TD :
* Exercice I5 : loi de refroidissement de Newton.
* Exercice I10 : une équation différentielle à variables séparables.
* Exercice I2 : une équation linéaire d’ordre 1.
* Exercice I9 : un problème de Cauchy d’ordre 2.
Partie A :
I – La notion de suite :
1°) Définitions
2°) Différentes façons de définir une suite
3°) Représentation graphique d’une suite réelle
4°) Opérations sur les suites
5°) Monotonie d’une suite
6°) Suite majorée, suite minorée, suite bornée
II – Suites arithmétiques et suites géométriques :
1°) Les suites arithmétiques
2°) Les suites géométriques
Partie B : limite d’une suite réelle
I – Suites convergentes :
1°) Définitions
2°) Théorèmes sur les limites
Partie B : limite d’une suite réelle
I – Suites convergentes :
2°) Théorèmes sur les limites
II – Suites de limite infinie :
1°) Définition
2°) Théorèmes sur les limites
3°) Limite de qn
III – Limites et composition :
1°) Théorème
2°) Exemples d’utilisation
3°) Corollaire : cas des suites récurrentes d’ordre 1
IV – Comportement asymptotique des suites monotones :
1°) Cas de divergence
2°) Cas de convergence
3°) Suites adjacentes
Exercices :
* Exercice J1 : écriture fractionnaire d’un nombre.
TD :
* Exercice J2 : étude d’une suite homographique.
* Exercice J5 : somme des inverses des factorielles.
TD :
* Exercice J3 : suite des moyennes du terme précédent et de son module.
* Exercice J4 : étude d’une suite implicite.
I – Notion de matrice et opérations :
1°) Définitions
2°) Multiplication d’une matrice et d’une matrice colonne
3°) Multiplication de deux matrices (non terminé)
I – Notion de matrice et opérations :
3°) Multiplication de deux matrices (fin)
4°) Matrices inversibles
5°) Matrice transposée
6°) Matrices d’opérations élémentaires
II – Applications linéaires et matrices :
1°) Image d’une matrice
2°) Noyau d’une matrice
3°) Rang d’une matrice
TD :
* Exercice K2 : groupe orthogonal spécial du plan euclidien.
* Exercice K1 : puissance d’une matrice diagonalisable.
* Exercice K3 : centre d’un groupe de matrices unipotentes : 1°) et 2°).
TD :
* Exercice K3 : centre d’un groupe de matrices unipotentes : 3°).
* Exercice K4 : système différentiel.
* Exercice K7 : noyau et image d’une matrice (non terminé).
I – Repérage dans l’espace :
1°) Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires
2°) Bases et repères de l’espace
II – Produit scalaire dans l’espace :
1°) Définition
2°) Propriétés
III – Produit vectoriel :
1°) Définitions
2°) Propriétés
IV – Déterminant ou produit mixte :
1°) Définitions
2°) Propriétés
V – Plans :
1°) Définitions et systèmes d’équations paramétriques
2°) Équations cartésiennes de plans
3°) Distance d’un point à un plan
4°) Position relative de deux plans
VI – Droites :
1°) Position relative de deux droites
2°) Distance d’un point à une droite
VII – Sphères :
1°) Définition
2°) Équation cartésienne d’une sphère
3°) Intersection d’une sphère et d’un plan
TD :
* Exercice K7 : noyau et image d’une matrice (fin).
* Exercice L3 : distance point-plan.
* Exercice L1 : produit vectoriel et loi des sinus.
* Exercice L2 : différence des vecteurs de deux bases orthonormées directes.
* Exercice L4 : intersection de trois plans : 1°).
TD :
* Exercice L4 : intersection de trois plans : fin.
* Exercice L6 : perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires.
I – Limites de fonctions :
1°) Limite en un réel
2°) Limite en l’infini
3°) Règles opératoires sur les limites
4°) Techniques pour lever les formes indéterminées
DS3
II – Comparaison de fonctions, négligeabilité, dérivabilité :
1°) Inégalités et limites
2°) Relation de négligeabilité
3°) Relation d’équivalence
III – Continuité :
1°) Définition
2°) Propriétés
3°) La fonction partie entière
4°) Théorèmes sur les fonctions continues
TD :
* Exercice M2 : limites avec équivalents.
* Exercice M4 : suite implicite avec partie entière.
* Exercice M3 : équivalent d’une suite : 1°) et 2°).
TD :
* Exercice M3 : équivalent d’une suite : 3°) à 7°).
* Exercice M5 : dérivabilité d’une fonction réciproque.
IV – Dérivabilité :
1°) Nombre dérivé, fonction dérivée
2°) Opérations sur les fonctions dérivables
3°) Propriétés des fonctions dérivables
4°) Fonctions de classe Ck
Chapitre N : Intégrale sur un segment
I – Intégrale d’une fonction continue :
1°) Définitions
2°) Propriétés de l’intégrale
3°) Extension de la notion d’intégrale
II – Intégrales et primitives :
1°) Rappels sur les primitives
2°) Le théorème fondamental
3°) Des primitives remarquables
III – Méthodes de calcul d’intégrales :
1°) L’intégration par parties
2°) Le changement de variable
(Partie à compléter par d’autres exemples)
TD :
* Exercice M6 : accroissements finis et étude de suite.
* Exercice M8 : approximation et inégalité des accroissements finis.
* Exercice N1 : intégrale d’un polynôme trigonométrique.
* Exercice N3 : intégration par parties : bien choisir la constante d’intégration.
TD :
* Exercice N5 : changement de variable et intégration par parties.
* Exercice N6 : équation différentielle linéaire d’ordre 1 avec second membre.
* Exercice N8 : suite définie par une intégrale.
* Cours du chapitre N :
Compléments sur les exemples de la partie III du cours.
Chapitre O : Développements limités
I – Généralités sur les développements limités :
1°) Définitions
2°) Propriété d’unicité
3°) Propriété de troncature
4°) Propriété de parité
II – Propriétés des développements limités :
1°) Développements limités et opérations
II – Propriétés des développements limités :
2°) Développements limités, continuité, dérivabilité
3°) Intégration d’un développement limité
4°) La formule de Taylor-Young
5°) Développements limités de référence
III – Applications des développements limités :
1°) Calculs de limites
2°) Détermination d’un équivalent, étude de signe
3°) Détermination d’une asymptote et position relative
* Exercice O1 : développements limités : 1°), 2°) et 3°).
TD :
* Exercice O1 : développements limités : 4°) et 5°).
* Exercice O3 : recherche d’un équivalent.
* Exercice O4 : limite d’une suite.
TD :
* Exercice O2 : limites et développements limités.
* Exercice O5 : étude locale.
* Exercice O7 : allure locale d’une solution d’une équation différentielle : 1°).
I – Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels :
1°) Notion d’espace vectoriel
2°) Notion de sous-espace vectoriel
3°) Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs
4°) Intersection de sous-espaces vectoriels
5°) Somme de sous-espaces vectoriels
II – Familles de vecteurs :
1°) Familles libres de vecteurs
2°) Bases et coordonnées
3°) Caractérisation d’une base
4°) Bases et sommes directes
5°) Familles orthogonales
III – Dimension finie :
1°) Espace vectoriel de dimension finie
2°) Définition de la dimension
3°) Caractérisation d’une base
4°) Dimension et sous-espace vectoriel
5°) Changement de base
TD :
* Exemple du cours du III 5°).
* Exercice P1 : reconnaître un espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs.
* Exercice P5 : sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel des suites réelles : 1°) à 5°).
TD :
* Exercice P5 : sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel des suites réelles : 6°).
* Exercice P6 : dimension : 1°) et 2°).
* Exercice P3 : projection orthogonale sur un plan.
I – Notion d’application linéaire :
1°) Définition et exemples
2°) Applications linéaires déduites d’une matrice
3°) Matrice d’une application linéaire
4°) Changement de base
II – Noyau et image d’une application linéaire :
1°) Noyau d’application linéaire (non terminé)
II – Noyau et image d’une application linéaire :
1°) Noyau d’une application linéaire (fin)
2°) Image d’une application linéaire
III – Applications linéaires remarquables :
1°) Morphismes
2°) Homothéties, projecteurs, symétries
TD :
* Exercice Q1 : endomorphisme et changement de base.
* Exercice Q2 : composées d’un endomorphisme du plan.
* Exercice Q3 : espace des exponentielles-polynômes de degré 2 : 1°) et 2°).
TD :
* Exercice Q3 : espace des exponentielles-polynômes de degré 2 : 3°), 4°) et 5°).
* Exercice Q5 : symétrie du plan vectoriel.
* Exercice Q8 : matrices symétriques et antisymétriques : 1°) et 2°).
* Exercice Q8 : matrices symétriques et antisymétriques : 3°) 4°) et 5°).
* Exercice Q6 : endomorphisme défini par l’image d’une base.
I – Définitions et exemples :
1°) Notion de série numérique
2°) Séries géométriques
3°) Séries de Riemann
II – Séries à termes positifs :
1°) Comportement d’une série à termes positifs
2°) Comparaison de séries à termes positifs (exemple non terminé)
Pour le lundi 11/02 : faire le devoir maison n°8.
DS4
II – Séries à termes positifs :
2°) Comparaisons de séries à termes positifs (fin de l’exemple)
3°) Séries à termes positifs et équivalents
4°) Convergence absolue
III – Méthodes d’étude :
1°) Critère suffisant de divergence
2°) Séries télescopiques
3°) Séries alternées
4°) Critère de d’Alembert
5°) Comparaison d’une série et d’une intégrale
6°) Méthodes de calcul de la somme
TD :
* Exercice R1 : Nature d’une série numérique.
* Exercice R2 : Nature d’une série numérique.
TD :
* Exercice R3 : Nature de séries numériques.
* Exercice R4 : Convergence et calcul de la somme d’une série numérique.
I – Notion de polynôme :
1°) L’espace vectoriel des polynômes
2°) Degré d’un polynôme
3°) Division euclidienne de polynômes
II – Racines de polynômes :
1°) Racines et factorisation
2°) Factorisation dans
3°) Factorisation dans
II – Racines de polynômes :
3°) Factorisation dans
III – Fractions rationnelles :
1°) Notion de fraction rationnelle
2°) Degré d’une fraction rationnelle
3°) Partie entière d’une fraction rationnelle
IV – Pôles d’une fraction rationnelle :
1°) Notion de pôle d’une fraction rationnelle
2°) Décomposition en éléments simples sur le corps des nombres complexes
3°) Obtenir les coefficients d’une décomposition en éléments simples
4°) Décomposition en éléments simples sur le corps des nombres réels
TD :
* Exercice S1 : Division euclidienne et asymptote.
* Exercice S5 : Factoriser un polynôme dans
* Exercice S6 : Puissances d’une matrice et polynôme annulateur : 1°).
TD :
* Exercice S6 : Puissances d’une matrice et polynôme annulateur : 2°) 3°) et 4°).
* Exercice S8 : Dérivées successives d’une fonction rationnelle.
* Exercice S9 : Calcul d’une intégrale à l’aide d’une décomposition en éléments simples.
I – Le déterminant : une forme multilinéaire alternée :
1°) Notion de déterminant
2°) Multilinéarité du déterminant
3°) Caractère alterné du déterminant
II – Déterminant d’un produit de matrices :
1°) Cas de déterminants nuls
2°) Multiplicativité du déterminant
3°) Invariance du déterminant par transposition (non terminé)