Cahier de texte – prépa ATS – Maths – Les CPGE du Lycée Jean Jaurès

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Mardi 4 septembre

Chapitre A : Comparaison de nombres réels

I – Les nombres réels :
1°) Une définition
2°) La valeur absolue

II – Égalités et équations :
1°) Puissances
2°) Fractions
3°) Équations

Pour le mercredi 12/09 : faire le devoir maison n°1.

Mercredi 5 septembre

II – Égalités et équations :
4°) Équations du second degré

III – Inégalités et inéquations :
1°) Signe d’un nombre réel
2°) Signe d’expressions de référence
3°) Inégalités équivalentes
4°) Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure

IV – Utiliser les fonctions :
1°) Inéquations et fonctions
2°) Application de la monotonie aux inégalités et recherches de signe (partie non terminée)

Pour le lundi 10/09 : faire l’exercice A1 de la feuille d’exercices du chapitre A.

Lundi 10 septembre

Correction de l’exercice A1.

IV – Utiliser les fonctions :
2°) Application de la monotonie aux inégalités et recherches de signe (fin)
3°) Liens entre fonctions et équations

Exercices :
ex A4 : construire une équation
ex A2 : résolution d’équations

TD :

* Exercice A12 : étude d’une fonction définie avec des valeurs absolues.
* Exercice A5 : résolution d’inéquations.
* Exercice A9 : inégalité.
* Exercice A13 : fonction injective, surjective, bijective, Im(f) : 1°) traité en détails.

Mardi 11 septembre

TD :

* Exercice A13 : fonction injective, surjective, bijective, Im(f) : 3°) traité en détails.
* Exercice A11 : comparaison de deux nombres.
* Exercice A3 : inégalité arithmético-géométrique et application.
* Exercice A14 : bornes supérieure et inférieure d’une fonction.

Mercredi 12 septembre

Chapitre B : Systèmes linéaires et géométrie

I – Systèmes linéaires :
1°) Définition d’un système linéaire
2°) Opérations élémentaires
3°) Méthode du pivot de Gauss
4°) Aspects théoriques de la méthode du pivot

II – Vecteurs et points :
1°) Relation entre points et vecteurs (non terminé)

Lundi 17 septembre

II – Vecteurs et points :
1°) Relation entre points et vecteurs (fin)
2°) Bases, repères et coordonnées

III – Droites et plans :
1°) Droites affines
2°) Passer des équations cartésiennes aux équations paramétriques
3°) Plans affines

IV – Configurations de droites et de plans :
1°) Incidence de deux droites dans le plan
2°) Incidence de deux plans, une droite un plan, deux droites, dans l’espace

Pour le mercredi 26/09 : faire le devoir maison n°2.

TD :

* Exercice B2 : un polynôme inconnu.
* Exercice B4 : caractéristiques de droites du plan.
* Exercice B6 : étude élémentaire d’une transformation du plan (non terminé).

Mardi 18 septembre

TD :

* Correction de l’exercice B6.
* Exercice B1 : résolution d’un système dépendant d’un paramètre.
* Exercice B7 : changement de repère.
* Exercice B8 : équations de plans de l’espace.

Mercredi 19 septembre

Chapitre C : Les fonctions

I – Généralités sur les fonctions :
1°) La notion de fonction
2°) Composition de fonctions et fonction réciproque
3°) Propriétés de symétrie
4°) Asymptotes
5°) Tangentes

II – Fonctions polynômes, fonctions racines :
1°) Fonctions polynômes
2°) Fonctions affines
3°) Trinômes du second degré
4°) Fonction inverse
5°) Fonction racine n-ième

Lundi 24 septembre

III – Fonctions logarithmes et exponentielles :
1°) La fonction logarithme népérien
2°) La fonction exponentielle
3°) Les fonctions exponentielles de base a, a>0
4°) Les fonctions logarithmes de base a, a>0 et a≠1
5°) Les fonctions hyperboliques

TD :

* Exercice C11 : lecture de graphique (d’une dérivée) et d’énoncé.
* Exercice C3 : étude d’une fonction et de sa réciproque.
* Exercice C5 : image d’une fonction (non terminé).

Mardi 25 septembre

TD :

* Correction de l’exercice C5 : image d’une fonction.
* Exercice C4 : bornes supérieure et inférieure d’une fonction.
* Exercice C6 : trigonométrie hyperbolique.
* Exercice C8 : équations : 1°), 2°) et 3°).

Mercredi 26 septembre

Chapitre D : Nombres entiers

I – Le raisonnement par récurrence :
1°) Les nombres entiers
2°) Le raisonnement par récurrence
* Exercice : ex D2 : 5°)

II – Sommes et produits :
1°) Sommes et produits d’indices entiers
2°) Sommes de référence (non terminé)

Lundi 1er octobre

II – Sommes et produits :
2°) Sommes de références (fin)

III – Binôme de Newton :
1°) La factorielle
2°) Les coefficients binomiaux
3°) Aspects combinatoires
4°) La formule du binôme
5°) La formule de Leibniz

TD :

* Exercice D1 : composées successives.
* Exercice D3 : sommes de référence.
* Exercice D4 : sommes télescopiques.
* Exercice D5 : produits.
* Exercice D6 : sommes binomiales.

Mardi 2 octobre

TD :

* Exercice D7 : somme binomiale.
* Exercice D10 : dérivées successives.
* Exercice D2 : récurrence, le 3°) (l’inégalité de Bernoulli).

Mercredi 3 octobre

Chapitre E : Nombres complexes

I – Introduction des nombres complexes :
1°) L’ensemble des nombres complexes
2°) Propriétés des opérations
3°) Représentation géométrique

II – Conjugué d’un nombre complexe :
1°) Définition
2°) Propriétés de la conjugaison
3°) Application : forme algébrique d’un quotient

III – Module d’un nombre complexe :
1°) Définition
2°) Propriétés du module

IV – Nombres complexes de module 1 :
1°) Le groupe ( $\mathbb{U}$ ,×)
2°) e^iθ, θ∈ $\mathbb{R}$ . Propriétés, formules de Moivre et d’Euler

Pour le lundi 15/10 : faire le devoir maison n°3.

DS1

Lundi 8 octobre

IV – Nombres complexes de module 1 :
2°) point méthode pour la transformation d’expressions du type e^iθ±e^iθ’

V – Argument d’un nombre complexe non nul :
1°) Les coordonnées polaires
2°) La notion d’argument
3°) Exponentielle d’un nombre complexe

VI – Équations du second degré dans $\mathbb{C}$ :
1°) L’équation à coefficients réels dans le cas Δ<0 2°) Les racines carrées d'un nombre complexe 3°) L'équation du second degré à coefficients complexes

VII – Les racines n-ièmes d’un nombre complexe :
1°) Définitions
2°) Les racines n-ièmes de l’unité
3°) Les racines n-ièmes d’un nombre complexe

VIII Nombres complexes et géométrie :
1°) Applications du module
2°) Applications de l’argument
3°) Applications aux transformations du plan

TD :

* Exercice du cours : VIII 1°).
* Exercice E1 : identité du parallélogramme.
* Exercice E3 : calcul de cos(π/12) et sin(π/12).
* Exercice E5 : trouver les nombres complexes tels que z⁷ et z^-2 soient conjugués.
* Exercice E9 : projection du plan sur un cercle (juste commencé).

Mardi 9 octobre

TD :

* Exercice E9 : projection du plan sur un cercle.
* Exercice E6 : résolution d’une équation de degré 4.
* Exercice E7 : racines cubiques de -i.
* Exercice E2 : simplification d’un nombre complexe.

Mercredi 10 octobre

Chapitre F : Trigonométrie

I – Sinus, cosinus et tangente d’un nombre réel :
1°) Définitions
2°) Linéarisation
3°) Antilinéarisation
4°) Formulaire de trigonométrie
5°) Équations trigonométriques
6°) Inéquations trigonométriques

Lundi 15 octobre

II – Les fonctions circulaires :
1°) Définitions
2°) La fonction sinus
3°) La fonction cosinus
4°) La fonction tangente

III – Les fonctions circulaires réciproques :
1°) Rappels (fonction réciproque et théorème de bijection)
2°) La fonction Arc tangente
3°) La fonction Arc sinus
4°) La fonction Arc cosinus

TD :

* Exercice F10 : linéarisation et intégrales.
* Exercice F11 : somme trigonométrique.
* Exercice F2 : arctan(7)+2arctan(3)=5π/4.
* Exercice F1 : somme télescopique avec arctan.

Mardi 16 octobre

TD :

* Exercice F3 : simplifier une expression trigonométrique.
* Exercice F6 : équations : 1°) arccos(x) = arcsin(x) 2°) arccos(x) = arccos(1/4) + arcsin(1/3).
* Exercice F9 : étude des fonctions : 1°) x → cos2(x) + cos(x) 2°) x → arccos(cos(x)) 3°) x → arccos(cos(x)) + arcsin(sin(x)).

Mercredi 17 octobre

* Exercice F8 : une équation de degré 6 dans $\mathbb{C}$ .
* Exercice F7 : une équation trigonométrique.

Chapitre G : Géométrie plane

I – Géométrie euclidienne dans $\mathbb{R}$ ⁿ, n∈ $\mathbb{N}$ * :
1°) Produit scalaire canonique dans $\mathbb{R}$ ⁿ
2°) Norme d’un vecteur, inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire, théorème de Pythagore
3°) Angle géométrique de deux vecteurs

II – Géométrie euclidienne dans le plan :
1°) Norme, angle
2°) Vecteur normal d’une droite
3°) Produit scalaire et droites (non terminé)

Pour le lundi 05/11 : faire le devoir maison n°4.

Lundi 5 novembre

II – Géométrie euclidienne dans le plan :
3°) Produit scalaire et droites (fin)
4°) Cercles du plan

III – Déterminant de deux vecteurs du plan :
1°) Définition du déterminant
2°) Propriétés du déterminant
3°) Déterminant et orientation du plan
4°) Déterminant et aire

TD :

* Exercice G3 : éléments caractéristiques et intersection d’une droite et d’un cercle.
* Exercice G2 : éléments caractéristiques et équation du cercle circonscrit d’un triangle.
* Exercice G5 : lieu de l’orthocentre d’un triangle dont un sommet est mobile sur une droite.
* Exercice G9 : diagonales d’un cerf-volant.

Mardi 06 novembre

TD :

* Exercice G8 : déduire une distance point-droite d’un calcul d’aire.
* Exercice G6 : tangentes à un cercle passant par un point donné.
* Exercice G4 : cercle inscrit d’un triangle.

Mercredi 07 novembre

Chapitre H : Courbes paramétrées

I – Fonctions d’une variable réelle à valeurs dans $\mathbb{R}$ ² ou $\mathbb{R}$ ³ :
1°) Définition d’une fonction vectorielle
2°) Propriétés des fonctions vectorielles

II – Courbes paramétrées dans le plan :
1°) Définition d’une courbe paramétrée
2°) Tangente en un point d’une courbe paramétrée
3°) Longueur d’un arc d’une courbe paramétrée

III – Étude d’une courbe paramétrée du plan :
1°) Plan d’étude
2°) Réduction du domaine d’étude (non terminé)

Lundi 12 novembre

III – Étude d’une courbe paramétrée du plan :
2°) Réduction du domaine d’étude (fin)
3°) Étude des variations simultanées des coordonnées
4°) Étude des branches infinies
Étude d’un exemple
5°) Étude des points multiples
Étude d’un exemple (non terminé)

Pour le lundi 26/11 : faire le devoir maison n°5.

TD :

* Fin de l’exemple du III 5°) du cours.
* Exercice H2 : construction d’une courbe paramétrée à partir du tableau des variations simultanées des coordonnées.
* Exercice H1 : 2°) étude de la courbe paramétrée par : x(t) = (cos(t))² + ln|sin(t)| et y(t) = sin(t) (non terminé).

Mardi 13 novembre

TD :

* Exercice H1 : 2°) étude de la courbe paramétrée par : x(t) = (cos(t))² + ln|sin(t)| et y(t) = sin(t) (fin).
* Exercice H5 : tangentes d’une courbe remarquable.
* Exercice H4 : construction d’une tractrice.

Mercredi 14 novembre

Chapitre I : Équations différentielles

I – Généralités :
1°) Notion d’équation différentielle
2°) Rappels sur les primitives

II – Équations différentielles linéaires du premier ordre :
1°) Cas de l’équation sans second membre
2°) Structure des solutions d’une équation différentielle linéaire
3°) Recherche d’une solution particulière : méthode de variation de la constante
4°) Le principe de superposition des solutions
5°) Le problème de Cauchy

DS2

Lundi 19 novembre

III – Équations différentielles linéaires du second ordre :
1°) Cas de l’équation à coefficients constants sans second membre
2°) Forme des solutions selon le second membre

IV Équations différentielles générales :
1°) Résolution approchée : la méthode d’Euler
2°) Théorème de Cauchy-Lipschitz et applications
3°) Changement de fonction

TD :

* Résolution du dernier exemple du cours : résoudre sur ]0;+∞[ 2t²y »+3ty’-y=0 sachant que t→1/t est solution.
* Exercice I1 : trouver une équation différentielle satisfaite par une fonction.
* Exercice I4 : 2°) et 3°) équations différentielles linéaires d’ordre 1 avec second membre.
* Exercice I8 : 1°) équation différentielle linéaire d’ordre 2 avec second membre.

Mardi 20 novembre

TD :

* Exercice I5 : loi de refroidissement de Newton.
* Exercice I10 : une équation différentielle à variables séparables.
* Exercice I2 : une équation linéaire d’ordre 1.
* Exercice I9 : un problème de Cauchy d’ordre 2.

Mercredi 21 novembre

Chapitre J : Suites numériques

Partie A :
I – La notion de suite :
1°) Définitions
2°) Différentes façons de définir une suite
3°) Représentation graphique d’une suite réelle
4°) Opérations sur les suites
5°) Monotonie d’une suite
6°) Suite majorée, suite minorée, suite bornée

II – Suites arithmétiques et suites géométriques :
1°) Les suites arithmétiques
2°) Les suites géométriques

Partie B : limite d’une suite réelle
I – Suites convergentes :
1°) Définitions
2°) Théorèmes sur les limites

Lundi 26 novembre

Partie B : limite d’une suite réelle
I – Suites convergentes :
2°) Théorèmes sur les limites

II – Suites de limite infinie :
1°) Définition
2°) Théorèmes sur les limites
3°) Limite de qⁿ

III – Limites et composition :
1°) Théorème
2°) Exemples d’utilisation
3°) Corollaire : cas des suites récurrentes d’ordre 1

IV – Comportement asymptotique des suites monotones :
1°) Cas de divergence
2°) Cas de convergence
3°) Suites adjacentes

Exercices :
* Exercice J1 : écriture fractionnaire d’un nombre.

TD :

* Exercice J2 : étude d’une suite homographique.
* Exercice J5 : somme des inverses des factorielles.

Mardi 27 novembre

TD :

* Exercice J3 : suite des moyennes du terme précédent et de son module.
* Exercice J4 : étude d’une suite implicite.

Mercredi 28 novembre

Chapitre K : Matrices

I – Notion de matrice et opérations :
1°) Définitions
2°) Multiplication d’une matrice et d’une matrice colonne
3°) Multiplication de deux matrices (non terminé)

Lundi 03 décembre

I – Notion de matrice et opérations :
3°) Multiplication de deux matrices (fin)
4°) Matrices inversibles
5°) Matrice transposée
6°) Matrices d’opérations élémentaires

II – Applications linéaires et matrices :
1°) Image d’une matrice
2°) Noyau d’une matrice
3°) Rang d’une matrice

TD :

* Exercice K2 : groupe orthogonal spécial du plan euclidien.
* Exercice K1 : puissance d’une matrice diagonalisable.
* Exercice K3 : centre d’un groupe de matrices unipotentes : 1°) et 2°).

Mardi 04 décembre

TD :

* Exercice K3 : centre d’un groupe de matrices unipotentes : 3°).
* Exercice K4 : système différentiel.
* Exercice K7 : noyau et image d’une matrice (non terminé).

Mercredi 05 décembre

Chapitre L : Géométrie dans l’espace

I – Repérage dans l’espace :
1°) Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires
2°) Bases et repères de l’espace

II – Produit scalaire dans l’espace :
1°) Définition
2°) Propriétés

III – Produit vectoriel :
1°) Définitions
2°) Propriétés

IV – Déterminant ou produit mixte :
1°) Définitions
2°) Propriétés

Lundi 10 décembre

V – Plans :
1°) Définitions et systèmes d’équations paramétriques
2°) Équations cartésiennes de plans
3°) Distance d’un point à un plan
4°) Position relative de deux plans

VI – Droites :
1°) Position relative de deux droites
2°) Distance d’un point à une droite

VII – Sphères :
1°) Définition
2°) Équation cartésienne d’une sphère
3°) Intersection d’une sphère et d’un plan

TD :

* Exercice K7 : noyau et image d’une matrice (fin).
* Exercice L3 : distance point-plan.
* Exercice L1 : produit vectoriel et loi des sinus.
* Exercice L2 : différence des vecteurs de deux bases orthonormées directes.
* Exercice L4 : intersection de trois plans : 1°).

Mardi 11 décembre

TD :

* Exercice L4 : intersection de trois plans : fin.
* Exercice L6 : perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires.

Mercredi 12 décembre

Chapitre M : Limites, continuité, dérivabilité

I – Limites de fonctions :
1°) Limite en un réel
2°) Limite en l’infini
3°) Règles opératoires sur les limites
4°) Techniques pour lever les formes indéterminées

DS3

Lundi 17 décembre

II – Comparaison de fonctions, négligeabilité, dérivabilité :
1°) Inégalités et limites
2°) Relation de négligeabilité
3°) Relation d’équivalence

III – Continuité :
1°) Définition
2°) Propriétés
3°) La fonction partie entière
4°) Théorèmes sur les fonctions continues

TD :

* Exercice M2 : limites avec équivalents.
* Exercice M4 : suite implicite avec partie entière.
* Exercice M3 : équivalent d’une suite : 1°) et 2°).

Mardi 18 décembre

TD :

* Exercice M3 : équivalent d’une suite : 3°) à 7°).
* Exercice M5 : dérivabilité d’une fonction réciproque.

Mercredi 19 décembre

IV – Dérivabilité :
1°) Nombre dérivé, fonction dérivée
2°) Opérations sur les fonctions dérivables
3°) Propriétés des fonctions dérivables
4°) Fonctions de classe C^k

Lundi 7 janvier

Chapitre N : Intégrale sur un segment

I – Intégrale d’une fonction continue :
1°) Définitions
2°) Propriétés de l’intégrale
3°) Extension de la notion d’intégrale

II – Intégrales et primitives :
1°) Rappels sur les primitives
2°) Le théorème fondamental
3°) Des primitives remarquables

III – Méthodes de calcul d’intégrales :
1°) L’intégration par parties
2°) Le changement de variable
(Partie à compléter par d’autres exemples)

TD :

* Exercice M6 : accroissements finis et étude de suite.
* Exercice M8 : approximation et inégalité des accroissements finis.
* Exercice N1 : intégrale d’un polynôme trigonométrique.
* Exercice N3 : intégration par parties : bien choisir la constante d’intégration.

Mardi 8 janvier

TD :

* Exercice N5 : changement de variable et intégration par parties.
* Exercice N6 : équation différentielle linéaire d’ordre 1 avec second membre.
* Exercice N8 : suite définie par une intégrale.

Mercredi 9 janvier

* Cours du chapitre N :
Compléments sur les exemples de la partie III du cours.

Chapitre O : Développements limités

I – Généralités sur les développements limités :
1°) Définitions
2°) Propriété d’unicité
3°) Propriété de troncature
4°) Propriété de parité

II – Propriétés des développements limités :
1°) Développements limités et opérations

Lundi 14 janvier

II – Propriétés des développements limités :
2°) Développements limités, continuité, dérivabilité
3°) Intégration d’un développement limité
4°) La formule de Taylor-Young
5°) Développements limités de référence

III – Applications des développements limités :
1°) Calculs de limites
2°) Détermination d’un équivalent, étude de signe
3°) Détermination d’une asymptote et position relative

* Exercice O1 : développements limités : 1°), 2°) et 3°).

TD :

* Exercice O1 : développements limités : 4°) et 5°).
* Exercice O3 : recherche d’un équivalent.
* Exercice O4 : limite d’une suite.

Mardi 15 janvier

TD :

* Exercice O2 : limites et développements limités.
* Exercice O5 : étude locale.
* Exercice O7 : allure locale d’une solution d’une équation différentielle : 1°).

Mercredi 16 janvier

Chapitre P : Espaces vectoriels

I – Espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels :
1°) Notion d’espace vectoriel
2°) Notion de sous-espace vectoriel
3°) Sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs
4°) Intersection de sous-espaces vectoriels
5°) Somme de sous-espaces vectoriels

Lundi 21 janvier

II – Familles de vecteurs :
1°) Familles libres de vecteurs
2°) Bases et coordonnées
3°) Caractérisation d’une base
4°) Bases et sommes directes
5°) Familles orthogonales

III – Dimension finie :
1°) Espace vectoriel de dimension finie
2°) Définition de la dimension
3°) Caractérisation d’une base
4°) Dimension et sous-espace vectoriel
5°) Changement de base

TD :

* Exemple du cours du III 5°).
* Exercice P1 : reconnaître un espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs.
* Exercice P5 : sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel des suites réelles : 1°) à 5°).

Mardi 22 janvier

TD :

* Exercice P5 : sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel des suites réelles : 6°).
* Exercice P6 : dimension : 1°) et 2°).
* Exercice P3 : projection orthogonale sur un plan.

Mercredi 23 janvier

Chapitre Q : Applications linéaires

I – Notion d’application linéaire :
1°) Définition et exemples
2°) Applications linéaires déduites d’une matrice
3°) Matrice d’une application linéaire
4°) Changement de base

II – Noyau et image d’une application linéaire :
1°) Noyau d’application linéaire (non terminé)

Lundi 28 janvier

II – Noyau et image d’une application linéaire :
1°) Noyau d’une application linéaire (fin)
2°) Image d’une application linéaire

III – Applications linéaires remarquables :
1°) Morphismes
2°) Homothéties, projecteurs, symétries

TD :

* Exercice Q1 : endomorphisme et changement de base.
* Exercice Q2 : composées d’un endomorphisme du plan.
* Exercice Q3 : espace des exponentielles-polynômes de degré 2 : 1°) et 2°).

Mardi 29 janvier

TD :

* Exercice Q3 : espace des exponentielles-polynômes de degré 2 : 3°), 4°) et 5°).
* Exercice Q5 : symétrie du plan vectoriel.
* Exercice Q8 : matrices symétriques et antisymétriques : 1°) et 2°).

Mercredi 30 janvier

* Exercice Q8 : matrices symétriques et antisymétriques : 3°) 4°) et 5°).
* Exercice Q6 : endomorphisme défini par l’image d’une base.

Chapitre R : Séries numériques

I – Définitions et exemples :
1°) Notion de série numérique
2°) Séries géométriques
3°) Séries de Riemann

II – Séries à termes positifs :
1°) Comportement d’une série à termes positifs
2°) Comparaison de séries à termes positifs (exemple non terminé)

Pour le lundi 11/02 : faire le devoir maison n°8.

DS4

Lundi 4 février

II – Séries à termes positifs :
2°) Comparaisons de séries à termes positifs (fin de l’exemple)
3°) Séries à termes positifs et équivalents
4°) Convergence absolue

III – Méthodes d’étude :
1°) Critère suffisant de divergence
2°) Séries télescopiques
3°) Séries alternées
4°) Critère de d’Alembert
5°) Comparaison d’une série et d’une intégrale
6°) Méthodes de calcul de la somme

TD :

* Exercice R1 : Nature d’une série numérique.
* Exercice R2 : Nature d’une série numérique.

Mardi 05 février

TD :

* Exercice R3 : Nature de séries numériques.
* Exercice R4 : Convergence et calcul de la somme d’une série numérique.

Mercredi 06 février

Chapitre S : Polynômes et fractions rationnelles

I – Notion de polynôme :
1°) L’espace vectoriel des polynômes
2°) Degré d’un polynôme
3°) Division euclidienne de polynômes

II – Racines de polynômes :
1°) Racines et factorisation
2°) Factorisation dans $\mathbb{C}$ [X]
3°) Factorisation dans $\mathbb{R}$ [X] (non terminé)

Lundi 11 février

II – Racines de polynômes :
3°) Factorisation dans $\mathbb{R}$ [X] (fin)

III – Fractions rationnelles :
1°) Notion de fraction rationnelle
2°) Degré d’une fraction rationnelle
3°) Partie entière d’une fraction rationnelle

IV – Pôles d’une fraction rationnelle :
1°) Notion de pôle d’une fraction rationnelle
2°) Décomposition en éléments simples sur le corps des nombres complexes
3°) Obtenir les coefficients d’une décomposition en éléments simples
4°) Décomposition en éléments simples sur le corps des nombres réels

TD :

* Exercice S1 : Division euclidienne et asymptote.
* Exercice S5 : Factoriser un polynôme dans $\mathbb{C}$ [X] et $\mathbb{R}$ [X].
* Exercice S6 : Puissances d’une matrice et polynôme annulateur : 1°).

Mardi 12 février

TD :

* Exercice S6 : Puissances d’une matrice et polynôme annulateur : 2°) 3°) et 4°).
* Exercice S8 : Dérivées successives d’une fonction rationnelle.
* Exercice S9 : Calcul d’une intégrale à l’aide d’une décomposition en éléments simples.

Vendredi 15 février

Chapitre T : Déterminants

I – Le déterminant : une forme multilinéaire alternée :
1°) Notion de déterminant
2°) Multilinéarité du déterminant
3°) Caractère alterné du déterminant

II – Déterminant d’un produit de matrices :
1°) Cas de déterminants nuls
2°) Multiplicativité du déterminant
3°) Invariance du déterminant par transposition (non terminé)

Lundi 18 février

II – Déterminant d’un produit de matrices :
3°) Invariance du déterminant par transposition (fin)

III – Exemples et applications :
1°) Déterminant d’une famille de vecteurs
2°) Déterminant d’un endomorphisme
3°) Déterminant d’une matrice bloc triangulaire

Exercice T1 : calculs de déterminants numériques
Exercice T2 : calculs de déterminants à paramètres
Exercice T8 : déterminant à paramètre et automorphisme de $\mathbb{R}_2[X]$

TD :

* Exercice T3 : calcul d’un déterminant d’ordre n
* Exercice T5 : un critère d’alignement de trois points du plan
* Exercice T4 : déterminant et relation de récurrence
* Exercice T10 : inversibilité d’une matrice à paramètre

Mardi 19 février

TD :

* Exercice T7 : déterminant d’une base de l’espace
* Exercice T6 : déterminant d’une matrice antisymétrique
* Exercice T9 : déterminant et automorphisme de l’espace

Mercredi 20 février

Chapitre U : Séries de Fourier

I – Compléments sur les fonctions définies par morceaux :
1°) Fonctions continues ou de classe $C^1$ par morceaux
2°) Intégrale d’une fonction continue par morceaux

II – Coefficients et séries de Fourier d’une fonction :
1°) Coefficients de Fourier
2°) Séries de Fourier

III – Théorèmes de convergence :
1°) Le théorème de Parseval
2°) Le théorème de Dirichlet

Lundi 11 mars

Chapitre V : Réduction des endomorphismes

I – Éléments propres et polynôme caractéristique :
1°) Éléments propres d’un endomorphisme
2°) Polynôme caractéristique d’un endomorphisme
3°) Extension aux matrices des notions précédentes

II – Endomorphismes et matrices diagonalisables :
1°) Cas des endomorphismes

TD :

* Exercice U1 : Coefficients de Fourier
* Exercice U2 : Série de Fourier de la valeur absolue
* Exercice U3 : Série de Fourier d’un trinôme : 1°)

Mardi 12 mars

TD :

* Exercice U3 : Série de Fourier d’un trinôme : 2°) et 3°)
* Exercice U4 : Série de Fourier et cosinus hyperbolique

Mercredi 13 mars

II – Endomorphismes et matrices diagonalisables :
2°) Cas des matrices

III – Endomorphismes et matrices trigonalisables :
1°) Trace d’une matrice, trace d’un endomorphisme
2°) Cas des endomorphismes
3°) Cas des matrices

IV – Application de la réduction des endomorphismes :
1°) Puissances de matrices
2°) Systèmes récurrents linéaires homogènes (non terminé)

Lundi 18 mars

IV – Application de la réduction des endomorphismes :
2°) Systèmes récurrents linéaires homogènes (fin)
3°) Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants

V – Isométries vectorielles et matrices orthogonales

VI – Classification des isométries vectorielles en dimensions 2 et 3 :
1°) Le groupe orthogonal du plan
2°) Le groupe orthogonal de l’espace

VII – Matrices symétriques réelles

TD :

* Exercice V1 : Vérifier que des vecteurs sont propres
* Exercice V2 : Caractère diagonalisable d’une matrice paramétrée
* Exercice V5 : Puissances d’une matrice par diagonalisation

Mardi 19 mars

TD :

* Exercice V4 : famille de matrices, diagonalisation de l’une d’entre elles
* Exercice V6 : famille de matrices, puissances de l’une d’entre elles
* Exercice V9 : système différentiel 2×2

Mercredi 20 mars

Chapitre W : Intégrales généralisées

I – Intégrale d’une fonction continue sur un intervalle :
1°) Définitions
2°) Propriétés

II – Intégrale d’une fonction continue positive sur un intervalle :
1°) Théorèmes de comparaison
2°) Convergence absolue

Lundi 25 mars

* Exercice V10 : système récurrent linéaire 2×2
* Exercice V11 : suite de Fibonacci et matrices
* Exercice V12 : matrice 3×3 avec une valeur propre de multiplicité 3

TD :

* Exercice W1 : nature d’intégrales impropres
* Exercice W2 : calculs d’intégrales convergentes : 1°).

Mardi 26 mars

TD :

* Exercice W2 : calculs d’intégrales convergentes : 2°), 3°) et 4°).
* Exercice W5 : valeur principale et convergence d’intégrale

Mercredi 27 mars

Chapitre X : Séries entières

I – Convergence d’une série entière :
1°) Définitions
2°) Rayon de convergence
3°) Disque et intervalle de convergence

II – Somme d’une série entière d’une variable réelle :
1°) Définition
2°) Théorème de continuité
3°) Théorème de dérivation terme à terme
4°) Théorème d’intégration terme à terme

III – Fonctions développables en série entière :
1°) Définition
2°) Propriétés

Lundi 1er avril

III – Fonctions développables en série entière :
2°) Propriétés
3°) Développements en séries entières usuels
4°) Exemples de calculs de développements en séries entières
5°) Exemples de calculs de sommes de séries entières

Exercices du chapitre X :
* Exercice X1 : rayon de convergence
* Exercice X3 : rayon de convergence et calcul de somme
* Exercice X2 : développement en série entière en 0

TD :

* Exercice X5 : inégalité et série entière
* Exercice X6 : équation différentielle et série entière
* Exercice X8 : série entière et série numérique

Mardi 2 avril

Chapitre Y : Fonction de plusieurs variables

I – Introduction à la topologie de $\mathbb{R}^n$ :
1°) La norme euclidienne de $\mathbb{R}^n$
2°) La distance euclidienne de $\mathbb{R}^n$
3°) Éléments de topologie de $\mathbb{R}^n$

II – Limite et continuité
1°) Définitions
2°) Propriétés

III – Dérivées partielles, applications de classe C¹ et C² sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ :
1°) Dérivées partielles
2°) Applications de classe C¹
3°) Dérivées partielles et composition (non terminé)

Mercredi 3 avril

III – Dérivées partielles, applications de classe C¹ et C² sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ :
3°) Dérivées partielles et composition (fin)
4°) Applications de classe C²

IV – Extremums d’une fonction de deux variables :
1°) Extremum local d’une fonction
2°) Étude des points critiques d’une fonction

V – Applications géométriques :
1°) Courbes du plan

Lundi 8 avril

Concours blanc

Épreuve de mathématiques (DS n°6)

Jeudi 11 avril

V – Applications géométriques :
2°) Surfaces et plan tangent

Exercices du chapitre Y :
* Exercice Y1 : étude de points critiques
* Exercice Y3 : calcul du laplacien en coordonnées polaires

Lundi 15 avril

Correction du DS n°6 :
* Exercice 1 : algèbre linéaire
* Exercice 2 : calcul intégral et séries de Fourier

* Exercice Y4 : équations aux dérivées partielles linéaires
* Exercice 2 du sujet du concours ATS 2015 (analyse, intégration, équation différentielle, série entière) : 1°), 2°) et 3°)

Mardi 16 avril

* Exercice 2 du sujet du concours ATS 2015 (analyse, intégration, équation différentielle, série entière) : fin.
* Exercice 1 du sujet du concours ATS 2017 (algèbre linéaire) : 1°).

Mercredi 17 avril

Correction du DS n°6 :
* Exercice 3 : étude d’une courbe paramétrée

* Exercice 1 du sujet du concours ATS 2017 (algèbre linéaire) : 2°) a) b) c) d)