Cahier de texte – prépa ATS – Maths


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Mardi 3 septembre

Présentation générale du programme, du travail et des objectifs de l’année.
Puis cours en classe entière :

Chapitre A : Comparaison de nombres réels

I – Les nombres réels :
1°) Une définition
2°) La valeur absolue

II – Égalités et équations :
1°) Puissances
2°) Méthodes de démonstration d’une égalité
3°) Fractions
4°) Équations
5°) Équations du second degré

III – Inégalités et inéquations :
1°) Signe d’un nombre réel

Pour le mardi 10/09 : faire le devoir maison n°1.

Mercredi 4 septembre

III – Inégalités et inéquations :
2°) Signe d’expressions de référence
3°) Inégalités équivalentes
4°) Majorant, minorant, borne supérieure, borne inférieure

IV – Utiliser les fonctions :
1°) Inéquations et fonctions
2°) Application de la monotonie aux inégalités et recherches de signe
3°) Liens entre fonctions et équations
4°) Image directe

Vendredi 6 septembre

Chapitre B : Systèmes linéaires et géométrie

I – Systèmes linéaires :
1°) Définition d’un système linéaire
2°) Opérations élémentaires
3°) Méthode du pivot de Gauss
4°) Aspects théoriques de la méthode du pivot

II – Vecteurs et points :
1°) Rappels sur les vecteurs et généralisation

TD :

* Exercice A1 : égalité et équation.
* Exercice A2 : équations.
* Exercice A12 : étude d’une fonction définie avec des valeurs absolues.
* Exercice A5 : résolution d’inéquations : 1°) 2°) 3°).
* Exercice A9 : inégalité.

Mardi 10 septembre

TD :

* Exercice A13 : image d’une fonction : 1°) et 3°).
* Exercice A11 : comparaison de deux nombres.
* Exercice A13 : deux inégalités.
* Exercice A8 : intersection d’une courbe avec les axes de coordonnées.

Pour le mardi 17/09 : faire le devoir maison n°2.

Mercredi 11 septembre

II – Vecteurs et points :
2°) Bases, repères et coordonnées

III – Droites et plans :
1°) Droites affines
2°) Passer des équations cartésiennes aux équations paramétriques
3°) Plans affines
4°) Intersection

IV – Configurations de droites et de plans :
1°) Incidence de deux droites dans le plan
2°) Incidence de deux plans, une droite un plan, deux droites, dans l’espace

* Exercice B4 : Caractéristiques de droites du plan : 1°) 2°) et 3°)

Vendredi 13 septembre

Chapitre C : Les fonctions

I – Généralités sur les fonctions :
1°) La notion de fonction
2°) Composition de fonctions et fonction réciproque
3°) Propriétés de symétrie
4°) Asymptotes
5°) Tangentes

II – Fonctions polynômes, fonctions racines :
1°) Fonctions polynômes
2°) Fonctions affines
3°) Trinômes du second degré
4°) Fonction inverse

TD :

Exercices du chapitre B :
* Exercice B4 : Caractéristiques de droites du plan : 4°) et 5°).
* Exercice B2 : un polynôme inconnu.
* Exercice B6 : étude élémentaire d’une transformation du plan.

Mardi 17 septembre

TD :

* Exercice B1 : résolution d’un système comportant un paramètre
* Exercice B7 : changement de repère appliqué à l’étude d’une courbe
* Exercice B8 : équation cartésienne d’un plan de l’espace, plusieurs situations

Séance de préparation aux colles :
Cas pratique de la première semaine : au programme, les chapitres A et B
Parcours du programme et consultation systématique des différentes parties du cours correspondantes pour chacun des chapitres
Un exemple de sujet distribué et remarques pour chacun des exercices

Pour le mardi 24/09 : faire le devoir maison n°3.

Mercredi 18 septembre

II – Fonctions polynômes, fonctions racines :
5°) Fonction racine n-ième

III – Fonctions logarithmes et exponentielles :
1°) La fonction logarithme népérien
2°) La fonction exponentielle
3°) Les fonctions exponentielles de base a
4°) Les fonctions logarithmes de base a
5°) Les fonctions hyperboliques

Vendredi 20 septembre

Chapitre D : Nombres entiers

I – Le raisonnement par récurrence :
1°) Les entiers
2°) Le raisonnement par récurrence

II – Sommes et produits :
1°) Sommes et produits d’indices entiers : introduction des notations \Sigma et \Pi
2°) Sommes de référence

TD :

Exercices du chapitre C :
* Exercice C11 : lecture de graphique (d’une dérivée) et d’énoncé.
* Exercice C3 : étude d’une fonction et de sa réciproque.
* Exercice C5 : image d’une fonction (non terminé).

Mardi 24 septembre

TD :

* Exercice C5 : image d’une fonction (fin)
* Exercice C4 : borne sup et borne inf d’une fonction
* Exercice C6 : formules de trigonométrie hyperbolique

Pour le mardi 01/10 : faire le devoir maison n°4.

Mercredi 25 septembre

III – La formule du binôme de Newton :
1°) La factorielle
2°) Les coefficients binomiaux
3°) Aspects combinatoires
4°) La formule du binôme
5°) La formule de Leibniz

Vendredi 27 septembre

Chapitre E : Nombres complexes

I – Introduction des nombres complexes :
1°) L’ensemble des nombres complexes
2°) Propriétés des opérations
3°) Représentation géométrique

II – Conjugué d’un nombre complexe :
1°) Définition
2°) Propriétés de la conjugaison
3°) Applications

III – Module d’un nombre complexe :
1°) Définition2°) Propriétés du module

IV – Nombres complexes de module 1 :
1°) Le groupe (\mathbb{U},×)
2°) e, θ∈\mathbb{R}. Propriétés, formules de Moivre et d’Euler (exemples non terminés)

TD :

* Fin du IV 2°) du cours (2ème exemple traité)
Exercices du chapitre D :
* Exercice D1 : composées successives.
* Exercice D3 : sommes de référence.
* Exercice D4 : somme télescopique.
* Exercice D5 : produits.

Mardi 1er octobre

TD :

* Exercice D6 : sommes binomiales.
* Exercice D7 : somme binomiale.
* Exercice D10 : dérivées successives.

Pour le mardi 15/10 : faire le devoir maison n°5.

Mercredi 02 octobre

V – Argument d’un nombre complexe non nul :
1°) Les coordonnées polaires
2°) La notion d’argument
3°) Exponentielle d’un nombre complexe

VI – Équations du second degré dans \mathbb{C} :
1°) L’équation du second degré à coefficients réels et discriminant négatif
2°) Les racines carrées d’un nombre complexe
3°) Cas de l’équation du second degré à coefficients complexes

VII – Les racines n-ièmes d’un nombre complexe :
1°) Définitions
2°) Les racines n-ièmes de l’unité
3°) Les racines n-ièmes d’un nombre complexe

VIII – Nombres complexes et géométrie :
1°) Applications du module
2°) Applications de l’argument
3°) Applications aux transformations du plan

Vendredi 4 octobre

Chapitre F : Trigonométrie

I – Sinus, cosinus et tangente d’un nombre réel :
1°) Définitions
2°) Linéarisation
3°) Anti-linéarisation
4°) Formulaire de trigonométrie
5°) Équations trigonométriques
6°) Inéquations trigonométriques

TD :

Exercices du chapitre E :
* Exercice E1 : identité du parallélogramme
* Exercice E3 : calcul de cos(pi/12) et sin(pi/12)
* Exercice E5 : nombres complexes z tels que z^7 et z^-2 conjugués
* Exercice E9 : projection du plan sur un cercle : 1°) et 2°) (non terminé)

Mardi 8 octobre

TD :

* Exercice E9 : projection du plan sur un cercle : 3°) et 4°).
* Exercice E6 : résolution d’une équation de degré 4.
* Exercice E7 : racines cubiques de -i.
* Exercice E2 : simplification d’un nombre complexe.

Mercredi 09 octobre

II – Les fonctions circulaires :
1°) Définitions
2°) La fonction sinus
3°) La fonction cosinus
4°) La fonction tangente

III – Les fonctions circulaires réciproques :
1°) Rappels
2°) La fonction Arc tangente
3°) La fonction Arc sinus
4°) La fonction Arc cosinus

DS n°1

Vendredi 11 octobre

Chapitre G : Géométrie plane

I – Géométrie euclidienne dans \mathbb{R}^n :
1°) Produit scalaire canonique dans \mathbb{R}^n
2°) Norme d’un vecteur
3°) Angle géométrique de deux vecteurs

II – Géométrie euclidienne dans le plan :
1°) Norme, angle
2°) Vecteur normal d’une droite
3°) Produit scalaire et droites (non terminé)

TD :

Exercices du chapitre F :
* Exercice F10 : linéarisation et calcul d’une intégrale.
* Exercice F11 : calcul d’une somme trigonométrique.
* Exercice F2 : arctan(7)+2arctan(3)=5\pi/4.

Mardi 15 octobre

TD :

* Exercice F1 : somme télescopique avec arctan.
* Exercice F3 : simplifier une expression trigonométrique.
* Exercice F6 : équation : arccos(x) = arcsin(x)

Pour le mardi 05/11 : faire le devoir maison n°6.

Mercredi 16 octobre

II – Géométrie euclidienne dans le plan :
3°) Produit scalaire et droites (fin)
4°) Cercles du plan

III – Déterminant de deux vecteurs du plan :
1°) Définition du déterminant
2°) Propriétés du déterminant
3°) Déterminant et orientation du plan
4°) Déterminant et aire

Vendredi 18 octobre

Chapitre H : Courbes paramétrées du plan

I – Fonctions d’une variable réelle à valeurs dans  \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3 :
1°) Définition d’une fonction vectorielle
2°) Propriétés des fonctions vectorielles

II – Courbes paramétrées du plan :
1°) Définition d’une courbe paramétrée
2°) Tangente en un point d’une courbe paramétrée
3°) Longueur d’un arc de courbe paramétrée

III – Étude d’une courbe paramétrée du plan :
1°) Plan d’étude

TD :

Exercices du chapitre G :
* Exercice G3 : intersection de courbes.
* Exercice G2 : équation du cercle circonscrit d’un triangle.
* Exercice G5 : équation d’un lieu de points.

Mardi 5 novembre

TD :

* Exercice G8 : déduire une distance point-droite d’un calcul d’aire.
* Exercice G6 : tangentes à un cercle passant par un point donné.
* Exercice G4 : cercle inscrit d’un triangle.

Pour le mardi 12/11 : faire le devoir maison n°7.

Mercredi 6 novembre

III – Étude d’une courbe paramétrée du plan :
1°) Plan d’étude
2°) Réduction du domaine d’étude
3°) Étude des variations simultanées des coordonnées
4°) Étude des branches infinies
Étude détaillée d’un exemple

Vendredi 8 novembre

Chapitre I : Équations différentielles

I – Généralités :
1°) Notion d’équation différentielle
2°) Rappels sur les primitives

II – Équations différentielles linéaires d’ordre 1 :
1°) Cas de l’équation sans second membre
2°) Structure des solutions d’une équation différentielle linéaire
3°) Recherche d’une solution particulière : méthode de variation de la constante
4°) Le principe de superposition de solutions

TD :

Exercices du chapitre H :
* Exercice H2 : tracé d’une courbe paramétrée à partir du tableau des variations conjointes.
* Exercice H1 : 2°) étude d’une courbe paramétrée.

Mardi 12 novembre

TD :

* Exercice H5 : tangentes d’une courbe remarquable (concours ATS 2012).
* Exercice H4 : construction d’une tractrice.

Pour le mardi 26/11 : faire le devoir maison n°8.

Mercredi 13 novembre

II – Équations différentielles linéaires d’ordre 1 :
5°) Le problème de Cauchy

III – Équations différentielles linéaires d’ordre 2 :
1°) Cas de l’équation à coefficients constants sans second membre
2°) Forme d’une solution particulière selon le second membre

IV – Équations différentielles générales :
1°) Résolution approchée : la méthode d’Euler
2°) Théorème de Cauchy-Lipschitz et applications
3°) Changement de fonction

Vendredi 15 novembre

Chapitre J : Suites numériques

Partie A : Généralités
I – La notion de suite :
1°) Définitions
2°) Différentes façons de définir une suite
3°) Représentation graphique d’une suite réelle
4°) Opérations sur les suites
5°) Monotonie d’une suite
6°) Suite majorée, suite minorée, suite bornée

II – Suites arithmétiques, suites géométriques :
1°) Les suites arithmétiques
2°) Les suites géométriques

Partie B : limite d’une suite réelle
I – Suites convergentes :
1°) Définitions
2°) Théorèmes sur les limites (non terminé)

TD :

Exercices du chapitre I :
* Exercice I1 : équation différentielle de solution donnée
* Exercice I4 : équations différentielles linéaires d’ordre 1 : 2°) et 3°)
* Exercice I8 : équations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants : 1°)
* Exercice I5 : loi de refroidissement de Newton : 1°)

Mardi 19 novembre

TD :

* Exercice I5 : loi de refroidissement de Newton : fin.
* Exercice I10 : équation différentielle à variables séparables.
* Exercice I2 : équation différentielle linéaire d’ordre 2.
* Exercice I9 : un problème de Cauchy d’ordre 2.

Mercredi 20 novembre

Partie B : limite d’une suite réelle
I – Suites convergentes :
2°) Théorèmes sur les limites (fin)

II – Suites de limite infinie :
1°) Définition
2°) Théorème sur les limites
3°) Limite de qn

III – Limites et composition :
1°) Théorème
2°) Exemple d’utilisation
3°) Corollaire : cas des suites récurrentes d’ordre 1

IV – Comportement asymptotique des suites monotones :
1°) Cas de divergence
2°) Cas de convergence
3°) Suites adjacentes

DS n°2

Vendredi 22 novembre

Chapitre K : Matrices

I – Notion de matrice et opérations :
1°) Définitions
2°) Multiplication d’une matrice et d’une matrice colonne
3°) Multiplication de deux matrices
4°) Matrices inversibles (non terminé)

TD :

Exercices du chapitre J :
* Exercice J1 : écriture fractionnaire d’un nombre à partie décimale périodique.
* Exercice J2 : étude d’une suite homographique.
* Exercice J5 : somme des inverses des factorielles : 1°).

Mardi 26 novembre

TD :

Exercices du chapitre J :
* Exercice J5 : somme des inverses des factorielles : fin.
* Exercice J3 : étude d’une suite récurrente de nombres complexes : 1°) à 6°).

Pour le mardi 03/12 : faire le devoir maison n°9.

Mercredi 27 novembre

I – Notion de matrice et opérations :
4°) Matrices inversibles (fin)
5°) Matrice transposée
6°) Matrices d’opérations élémentaires

II – Application linéaire associée à une matrice :
1°) Image d’une matrice
2°) Noyau d’une matrice
3°) Rang d’une matrice

Vendredi 29 novembre

Chapitre L : Géométrie dans l’espace

I – Repérage dans l’espace :
1°) Vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires
2°) Bases et repères de l’espace

II – Produit scalaire dans l’espace :
1°) Définition
2°) Propriétés

III – Produit vectoriel :
1°) Définitions
2°) Propriétés

IV – Déterminant ou produit mixte :
1°) Définitions
2°) Propriétés

TD :

Exercices du chapitre K :
* Exercice K2 : groupe orthogonal spécial du plan euclidien.
* Exercice K1 : puissances d’une matrice diagonalisable.

Mardi 03 décembre

TD :

Exercices du chapitre K :
* Exercice K7 : noyau et image d’une matrice.
* Exercice K4 : résolution d’un système différentiel linéaire (2×2).

Pour le mardi 10/12 : faire le devoir maison n°10.

Mercredi 04 décembre

V – Plans :
1°) Définition et systèmes d’équations paramétriques d’un plan
2°) Équation cartésienne d’un plan
3°) Distance d’un point à un plan
4°) Position relative de deux plans

VI – Droites :
1°) Position relative de deux droites
2°) Distance d’un point à une droite

VII – Sphères :
1°) Définition
2°) Équation cartésienne d’une sphère
3°) Intersection d’une sphère et d’un plan

Vendredi 06 décembre

Chapitre M : Limites, comparaison, continuité, dérivabilité

I – Limites de fonctions :
1°) Limite en un réel
2°) Limite en l’infini
3°) Règles opératoires sur les limites
4°) Techniques pour lever les formes indéterminées

II – Comparaison de fonctions, négligeabilité et équivalence :
1°) Inégalités et limites
2°) Relation de négligeabilité

TD :

Exercices du chapitre L :
* Exercice L3 : distance point-plan.
* Exercice L1 : produit vectoriel et loi des sinus.
* Exercice L2 : différence des vecteurs de deux bases orthonormées directes.