Cahier de texte PSI

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Mardi 3 septembre
Chapitre I : Algèbre linéaire : révision et généralisation

I. Rappels et compléments de sup

  1. Sous-espace vectoriel
  2. Opérations sur les sev
    • Intersection
    • Produit cartésien
    • Somme
    • Rappels sur les sommes de deux sev
Mercredi 4 septembre
    • Somme directe d’une famille finie de sev
Vendredi 6 septembre
DS de révisions de PCSI
Lundi 9 septembre

II. Applications linéaires
(Preuve supplémentaire)

  1. Définitions et propriétés : rappels de sup
  2. Image directe et image réciproque d’un sev par une application linéaire
  3. Représentation matricielle
  4. Sev stables
  5. Calcul matriciel par blocs
Mercredi 11 septembre

III. Déterminant
IV. Trace

Vendredi 13 septembre
Chapitre II : Espaces préhilbertiens réels : révision et généralisation

Pour en savoir plus sur les polynômes de Tchebytchev (entre autres)

I. Produit scalaire et norme
II. Orthogonalité

  1. vecteurs
  2. espaces orthogonaux
Lundi 16 septembre
  1. Bases orthonormales
Mercredi 18 septembre

III. Projecteurs orthogonaux
IV. Existence des bases orthogonales

Vendredi 20 septembre
Lundi 23 septembre
Chapitre III : Espaces vectoriels normés, topologie, suites vectorielles

I. Espaces vectoriels normés

  1. Normes
  2. Distance
Mercredi 25 septembre
  1. Distance
  2. Boules ouvertes, boules fermées, sphères
  3. Parties convexes
  4. Parties bornées
Vendredi 27 septembre

II. Topologie des evn

  1. Ouverts, fermés
  2. Intérieur, adhérence, frontière

III. Convergence des suites à valeur dans un evn

  1. Définition et premières prorpiétés
  2. Opérations sur les limites
  3. Cas de la dimension finie
Lundi 30 septembre
Chapitre IV : Réduction des endomorphismes

(Vocabulaire : Eigenvectors = vecteur propre ; eigenvalues = valeur propre)

I. Éléments propres d’un endomorphisme

  1. Valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres d’un endomorphisme
  2. Propriétés
Mercredi 2 octobre
  1. Propriétés

II. Vecteurs propres et valeurs propres d’une matrice

  1. Éléments propres d’une matrice
Vendredi 4 octobre
  1. Nombre de valeurs propres
  2. Spectre et similitude

III. Endomorphismes diagonalisables

  1. Définition et caractérisation des endomorphismes et matrices diagonalisables

Fiche méthode

Lundi 7 octobre
  1. Applications de la réduction
    • Calcul de puissances et d’inverse de matrice
    • Relations de récurrence linéaire à coefficients constants
    • Approximation de la valeur propre de module maximal
Mercredi 9 octobre

IV. Endomorphismes trigonalisables

Vendredi 11 octobre
Chapitre V : Fonctions vectorielles

I. Limite

  1. Définitions et premières propriétés
  2. Limite composante par composante
  3. Opérations sur les limites

II. Continuité

  1. Définitions et premières propriétés
  2. Opérations sur les applications continues
  3. Fonctions lipschitziennes, fonctions linéaires et multilinéaires
Lundi 14 octobre
  1. Fonctions continues et topologie
Mercredi 16 octobre

III. Dérivabilité : introduction au calcul différentiel

  1. Applications partielles
  2. Dérivées partielles d’ordre 1
  3. Opérations sur la classe \mathscr C^1
Vendredi 17 octobre
  1. Propriétés des applications de classe \mathscr C^1
Lundi 4 novembre

IV. Dérivabilité : introduction à l’étude des arcs paramétrés

  1. Dérivabilité
  2. Opérations sur les fonctions dérivables
Mercredi 6 novembre
  1. La classe \mathscr C^k

V. Retour aux fonctions numériques réelles

  1. Dérivabilité : lien avec les fonctions vectorielles
  2. Continuité par morceaux
  3. Intégrale sur un segment de fonctions continues par morceaux
Vendredi 8 novembre
Chapitre VI : Suites et séries : rappels et généralisation

I. Rappels de sup sur les séries numériques

  1. Vocabulaire et calcul de somme
  2. Séries à termes positifs
Mercredi 13 novembre

II. Les nouveautés de spé

  1. Règle de d’Alembert
  2. Séries alternées
  3. Formule de Stirling
  4. Produit de Cauchy
Vendredi 15 novembre

III. Suite et séries de fonctions : introduction à la convergence simple

IV. Séries entières

  1. Convergence simple
  2. Lemme d’Abel et rayon de convergence
Lundi 18 novembre
  1. Calcul du rayon de convergence
Mercredi 20 novembre
  1. Opérations sur les séries entières
  2. Séries entières et développement de Taylor
Mardi 26 novembre
Chapitre VII : Espace probabilisé

I. Ensemble dénombrable

II. Espace probabilisé

  1. Tribue
Mercredi 27 novembre
  1. Probabilité
Vendredi 29 novembre

III. Généralisations du programme de PCSI

  1. Probabilité conditionnelle
  2. Propriété et théorème
  3. Construction de probabilité
Lundi 2 décembre
Chapitre VIII : Polynôme d’endomorphisme

I. Polynôme d’endomorphisme ou de matrice

II. Polynôme caractéristique

  1. Polynôme caractéristique d’endomorphisme ou de matrice
Mardi 3 décembre
  1. Polynôme caractéristique et spectre
  2. Preuve HP du théorème de Cayley-Hamilton

  3. Polynôme caractéristique d’un endomorphisme induit
Vendredi 6 décembre

Correction des exercices 1 à 4 du TD 8

Lundi 9 décembre

III Polynôme d’endomorphisme et réduction

démonstration supplémentaire

Mardi 10 décembre
Chapitre XIV : Convergence uniforme des suites de fonctions

I. Convergence uniforme d’une suite de fonctions

Mercredi 11 décembre
II. Application de la convergence uniforme

  1. Régularité
  2. Interversion avec la limite en n
Vendredi 13 décembre
III. Norme de la convergence uniforme

  1. Définition
  2. Convergence normale des séries de fonctions
Vendredi 20 décembre
IV. Réécriture des théorèmes pour les séries de fonctions

Lundi 6 janvier
Chapitre X : Intégrale généralisée : introduction

I. Intégrale impropre en +\infty

  1. Définition et premières propriétés
  2. Intégrales de référence
  3. Comparaison série intégrale
Mercredi 8 janvier
Chapitre XI : Variables aléatoires

I. Variables aléatoires discrètes

  1. Définition et événements associés à une variable aléatoire
Vendredi 10 janvier
  1. Loi de probabilité d’une vard
Lundi 13 janvier
  1. Fonction de répartition d’une vard

II. Espérance et variance

  1. Espérance d’une vard
Mercredi 15 janvier
  1. Variance d’une vard
  2. Estimation de la dispersion
Vendredi 17 janvier
III. Lois usuelles

  1. Loi uniforme
  2. Loi de Bernoulli
  3. Loi binomiale
  4. Loi géométrique
  5. Loi de Poisson
Lundi 20 janvier
Chapitre XII : Isométrie vectorielle et matrice orthogonale

I. Endomorphismes orthogonaux

  1. Automorphismes orthogonaux
Mercredi 22 janvier
  1. Matrice orthogonale

II. Orientation de l’espace

  1. Déterminant d’une famille de vecteurs
Vendredi 24 janvier
  1. Orientation d’un espace vectoriel
  2. Déterminant d’un endomorphisme
  3. Produit mixte, produit vectoriel

III. Isométries du plan

IV. Isométries d’un espace de dimension 3

Lundi 27 janvier
Chapitre XIII : Développement en série entière

I. Régularité des séries entières

II. Développement en série entière

  1. Série de Taylor
Mercredi 29 janvier
  1. Développements usuels

III. Applications des DSE

  1. Régularité d’une fonction
Vendredi 31 janvier
  1. Calcul d’une somme
  2. Résolution d’une équation différentielle
Lundi 3 février
  1. Fonction génératrice d’une VARD à valeurs entières
Mercredi 5 février
Chapitre XIV : Intégrales impropres

I. Intégrales généralisées sur un intervalle quelconque

  1. Définitions
  2. Intégrales de référence
  3. Propriétés de l’intégrale généralisée
  4. Méthodes de calcul
Vendredi 7 février
II. Fonctions intégrables

  1. Convergence absolue/li>
  2. Théorèmes de comparaison

III. Structure des espaces de fonctions intégrables