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Programme de la semaine du 20/5

Questions de cours

  • Donner toute définition du cours
  • Montrer que \mathbb{K}_n\left[ X \right] est un espace vectoriel.
  • Énoncer une caractérisation des sous-espaces vectoriels.
  • Énoncer trois caractérisations pour que deux sev soient en somme directe.
  • Donner la définition d’une famille libre, génératrice et/ou de base.
  • Donner les bases canoniques et/ou dimension des espaces classiques.
  • Énoncer le théorème de la base incomplète.
  • Énoncer la formule de Grassman.

Espaces vectoriels

Définition des \mathbb{K}-espaces vectoriels, exemples classiques (\mathbb{K}^n, espaces de fonctions, de suites, de polynômes, de matrices…)

Sous-espaces vectoriels : caractérisation, intersection, somme, somme directe, supplémentaires.

Combinaisons linéaires et sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs.

Famille de vecteurs : libre, liée, génératrice, base. Coordonnées dans une base. Savoir ordonner les cardinaux de telles familles, et définition de la dimension finie. Dimension des sous-espaces vectoriels et caractérisation de l’égalité entre deux ev, dimension des supplémentaires et caractérisation par la formule de Grassman, théorème de la base adaptée.

Bases de \mathbb{C}-ev, considéré en tant que \mathbb{R}-ev ou \mathbb{C}-ev.

Applications linéaires : montrer qu’une application est linéaire ; image du 0 ; vocabulaire : endomorphisme, isomorphisme, automorphisme ; noyau (et caractérisation de l’injectivité) et image (et caractérisation de la surjectivité) d’une application linéaire.

Espaces isomorphes, caractérisation des espaces isomorphes.

Définition des projecteurs et des symétries par rapport à deux sev supplémentaires. Caractérisations et espaces caractéristiques exprimés avec des noyaux.


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