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Programme de la semaine du 25/3

Questions de cours

  • Donner toute définition du cours
  • Donner le degré d’un produit de polynômes et le démontrer.
  • Énoncer le théorème de division euclidienne dans \mathbb{K}\left[ X \right].
  • Énoncer la formule de Taylor pour les polynômes.
  • Énoncer la caractérisation de la multiplicité pour les polynômes.
  • Énoncer le théorème de décomposition en facteurs irréductibles dans \mathbb{R}\left[ X \right].

Polynôme

Construction formelle des polynômes, évaluation sur n’importe quel objet qui admet produit et combinaison linéaire (réels, complexes, matrices, fonctions, …)

Calcul sur les polynômes : combinaisons linéaires, produit, composition, dérivée formelle.

Degré d’un polynôme, degré des polynômes issus des opérations précédentes.

Division euclidienne, et divisibilité.

Racines d’un polynôme : notion de multiplicité, lien avec la division euclidienne, nombre de racines, polynômes irréductibles (dans \mathbb{C}\left[ X \right] et dans \mathbb{R}\left[ X \right]), polynômes scindés, formule de Taylor pour les polynômes, relation coefficients-racines (et résolution de systèmes non linéaires).


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