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Programme de la semaine du 10/6

Questions de cours

  • Donner toute définition du cours
  • Énoncer le théorème du rang sous ses deux formes.
  • Démontrer le théorème du rang sous forme géométrique.
  • Énoncer la formule du changement de bases pour une application linéaire.
  • Montrer que la formule « du gamma » pour les matrices de taille 2 est bien l’application déterminant.

Matrices d’application linéaire

Théorème du rang (forme géométrique et sur les dimensions). Conservation par composition avec un isomorphisme.

Matrice d’une famille de vecteurs dans une base donnée.

Matrice d’application linéaire dans des bases données.

Matrice d’une combinaison linéaire ou d’une composée d’applications linéaires. Application aux calculs d’image d’un vecteur, d’image d’une application, de noyau d’une application, d’inverse d’une application, à la caractérisation des symétries et projecteurs.

Déterminant

Le déterminant est l’unique application de \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) dans \mathbb{K}, qui soit multilinéaire alternée, et valant 1 sur l’identité.

Calcul pratique du déterminant par le pivot de Gauss ou les développements par rapport à une ligne ou à une colonne. (Règle de Sarrus pour les matrices de taille 3).

Calcul de déterminant par relation de récurrence.

Caractérisation de l’inversibilité par le déterminant. Déterminant d’endomorphisme.

Orientation de l’espace, et lien géométrie et déterminant dans les \mathbb{R}^n.


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